Quantum metrology holds the promise of an early practical application of quantum technologies, in which measurements of physical quantities can be made with much greater precision than what is achievable with classical technologies. In this Review, the authors collect some of the key theoretical results in quantum parameter estimation by presenting the theory for the quantum estimation of a single parameter, multiple parameters, and optical estimation using Gaussian states. The authors give an overview of results in areas of current research interest, such as Bayesian quantum estimation, noisy quantum metrology, and distributed quantum sensing. The authors address the question of how minimum measurement errors can be achieved using entanglement as well as more general quantum states. This review is presented from a geometric perspective. This has the advantage that it unifies a wide variety of estimation procedures and strategies, thus providing a more intuitive big picture of quantum parameter estimation.

1.
M.
Hayashi
,
Asymptotic Theory of Quantum Statistical Inference
(
World Scientific
,
Hackensack, NJ
,
2008
).
2.
S.
Kay
,
Fundamentals of Statistical Signal Processing, Volume I: Estimation Theory (v. 1)
, 1st ed. (
Prentice Hall
,
USA
,
1993
).
3.
G.
Tóth
and
D.
Petz
,
Phys. Rev. A
87
,
032324
(
2013
).
4.
R.
Demkowicz-Dobrzanski
,
U.
Dorner
,
B. J.
Smith
,
J. S.
Lundeen
,
W.
Wasilewski
,
K.
Banaszek
, and
I. A.
Walmsley
,
Phys. Rev. A
80
,
013825
(
2009
).
5.
L.
Pezzé
and
A.
Smerzi
,
Proc. Int. Sch. Phys. Enrico Fermi
188
,
691
(
2014
).
6.
J. J.
Bollinger
,
W. M.
Itano
,
D. J.
Wineland
, and
D. J.
Heinzen
,
Phys. Rev. A
54
,
R4649
(
1996
).
7.
S. F.
Huelga
,
C.
Macchiavello
,
T.
Pellizzari
,
A. K.
Ekert
,
M. B.
Plenio
, and
J. I.
Cirac
,
Phys. Rev. Lett.
79
,
3865
(
1997
).
8.
B.
Luff
,
J.
Wilkinson
,
J.
Piehler
,
U.
Hollenbach
,
J.
Ingenhoff
, and
N.
Fabricius
,
J. Lightwave Technol.
16
,
583
(
1998
).
9.
C.
Yang
,
A.
Wax
,
M. S.
Hahn
,
K.
Badizadegan
,
R. R.
Dasari
, and
M. S.
Feld
,
Opt. Lett.
26
,
1271
(
2001
).
10.
C. C.
Gerry
and
P. L.
Knight
,
Introductory Quantum Optics
, 1st ed. (
Cambridge University
,
UK
,
2004
).
11.
J. S.
Sidhu
, “
Quantum metrology of grid deformations and squeezed light: With applications in quantum imaging & quantum information
,” Doctoral thesis (
University of Sheffield
,
Sheffield, UK
,
2018
).
12.
D.
McNeish
,
Struct. Equations Model.
23
,
750
(
2016
).
13.
C. W.
Helstrom
,
Int. J. Theor. Phys.
8
,
361
(
1973
).
14.
H.
Cramér
,
Mathematical Methods of Statistics
(
Princeton University
,
1999
).
15.
S.
Amari
,
Information Geometry and Its Applications
, 1st ed., Applied Mathematical Sciences Vol.
194
(
Springer
,
Japan
,
2016
).
16.
N.
Ay
,
J.
Jost
,
H. V.
, and
L.
Schwachhöfer
,
Information Geometry
, 1st ed. (
Springer
,
New York
,
2017
).
17.
A. W.
van der Vaart
,
Asymptotic Statistics
(
Cambridge University
,
UK
,
2000
).
18.
S. D.
Gupta
,
Selected Papers of C. R. Rao
(
Wiley-Blackwell
,
New York
,
1995
).
19.
L.
Le Cam
and
G.
Lo Yang
,
Asymptotics in Statistics: Some Basic Concepts
, 2nd ed., Springer Series in Statistics (
Springer
,
New York
,
2000
).
20.
H. L. V.
Trees
and
K. L.
Bell
,
Bayesian Bounds for Parameter Estimation and Nonlinear Filtering/Tracking
(
Wiley-Blackwell
,
Canada
,
2007
).
21.
W. K.
Wootters
,
Phys. Rev. D
23
,
357
(
1981
).
22.
S. L.
Braunstein
and
C. M.
Caves
,
Phys. Rev. Lett.
72
,
3439
(
1994
).
23.
I.
Bengtsson
and
K.
Zyczkowski
,
Geometry of Quantum States: An Introduction to Quantum Entanglement
, 1st ed. (
Cambridge University
,
New York
,
2008
).
24.
P.
Kok
and
B. W.
Lovett
,
Introduction to Optical Quantum Information Processing
, 1st ed. (
Cambridge University
,
Cambridge, UK
,
2010
).
25.
P.
Facchi
,
R.
Kulkarni
,
V. I.
Man'ko
,
G.
Marmo
,
E. C. G.
Sudarshan
, and
F.
Ventriglia
,
Phys. Lett. A
374
,
4801
(
2010
).
26.
T. M.
Cover
and
J. A.
Thomas
,
Elements of Information Theory
, 2nd ed., Wiley Series in Telecommunications and Signal Processing (
Wiley-Blackwell
,
Hoboken, NJ
,
2006
).
27.
C. E.
Shannon
,
Bell Syst. Tech. J.
27
,
379
(
1948
).
28.
S.
Kullback
and
R. A.
Leibler
,
Ann. Math. Stat.
22
,
79
(
1951
).
29.
C. W.
Helstrom
,
Quantum Detection and Estimation Theory
(
Academic
,
London, UK
,
1976
).
30.
S. L.
Braunstein
,
C.
Caves
, and
G.
Milburn
,
Ann. Phys.
247
,
135
(
1996
).
31.
J.
Hilgevoord
and
J.
Uffink
,
Found. Phys.
21
,
323
(
1991
).
32.
H.
Nagaoka
, “
A new approach to Cramér-Rao bounds for quantum state estimation
,”
Report No. IT 89-42
, IEICE,
1989
, Chap. 8, p.
100
; reprinted in [1].
33.
G.
Tóth
and
I.
Apellaniz
,
J. Phys. A: Math. Theor.
47
,
424006
(
2014
).
34.
S.
Yu
, preprint arXiv:1302.5311 (
2013
).
35.
B. M.
Escher
,
R. L.
de Matos Filho
, and
L.
Davidovich
,
Nat. Phys.
7
,
406
(
2011
).
36.
A.
Fujiwara
and
H.
Imai
,
J. Phys. A: Math. Theor.
41
,
255304
(
2008
).
37.
M.
Hübner
,
Phys. Lett. A
163
,
239
(
1992
).
38.
J.
Jost
,
Riemannian Geometry and Geometric Analysis
, 6th ed. (
Springer
,
Berlin Heidelberg
,
2011
).
39.
A.
Fujiwara
,
Math. Eng. Tech. Rep.
94
,
8
(
1994
).
40.
S.
Amari
and
H.
Nagaoka
,
Methods of Information Geometry
, Translations of Mathematical Monographs, Vol.
191
(
American Mathematical Society, Oxford University
,
1993
).
41.
A.
Uhlmann
,
Rep. Math. Phys.
9
,
273
(
1976
).
42.
R.
Jozsa
,
J. Mod. Opt.
41
,
2315
(
1994
).
43.
M. A.
Nielsen
and
I. L.
Chuang
,
Quantum Computation and Quantum Information
, 10th ed. (
Cambridge University
,
New York
,
2010
).
44.
H.
Yuan
and
C.-H. F.
Fung
,
New J. Phys.
19
,
113039
(
2017
).
45.
A.
Chefles
,
Contemp. Phys.
41
,
401
(
2000
).
46.
L.
Banchi
,
S. L.
Braunstein
, and
S.
Pirandola
,
Phys. Rev. Lett.
115
,
260501
(
2015
).
47.
C. W.
Helstrom
,
Phys. Lett. A
25
,
101
(
1967
).
48.
C. W.
Helstrom
,
IEEE Trans. Inf. Theory
14
,
234
(
1968
).
49.
D.
Šafránek
,
Phys. Rev. A
95
,
052320
(
2017
).
50.
L.
Seveso
,
F.
Albarelli
,
M. G.
Genoni
, and
M. G. A.
Paris
,
J. Phys. A: Math. Theoret.
53
,
02LT01
(
2019
).
51.
M. G. A.
Paris
,
Int. J. Quantum Inf.
7
,
125
(
2009
).
52.
E.
Ercolessi
and
M.
Schiavina
,
Phys. Lett. A
377
,
1996
(
2013
).
53.
J.
Liu
,
J.
Chen
,
X.-X.
Jing
, and
X.
Wang
,
J. Phys. A: Math. Theor.
49
,
275302
(
2016
).
54.
M.
Sarovar
and
G. J.
Milburn
,
J. Phys. A: Math. Gen.
39
,
8487
(
2006
).
55.
B. M.
Escher
,
L.
Davidovich
,
N.
Zagury
, and
R. L.
de Matos Filho
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
190404
(
2012
).
56.
A. W.
Chin
,
S. F.
Huelga
, and
M. B.
Plenio
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
233601
(
2012
).
57.
J.
Kołodyński
and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
New J. Phys.
15
,
073043
(
2013
).
58.
S.
Alipour
,
M.
Mehboudi
, and
A. T.
Rezakhani
,
Phys. Rev. Lett.
112
,
120405
(
2014
).
59.
R.
Demkowicz-Dobrzański
and
L.
Maccone
,
Phys. Rev. Lett.
113
,
250801
(
2014
).
60.
O. E.
Barndorff-Nielsen
and
R. D.
Gill
,
J. Phys. A: Math. Gen.
33
,
4481
(
2000
).
61.
K.
Micadei
,
D. A.
Rowlands
,
F. A.
Pollock
,
L. C.
Céleri
,
R. M.
Serra
, and
K.
Modi
,
New J. Phys.
17
,
023057
(
2015
).
62.
V.
Giovannetti
,
S.
Lloyd
, and
L.
Maccone
,
Phys. Rev. Lett.
96
,
010401
(
2006
).
63.
A.
Boto
,
P.
Kok
,
D.
Abrams
,
S.
Braunstein
,
C.
Williams
, and
J.
Dowling
,
Phys. Rev. Lett.
85
,
2733
(
2000
).
64.
H.
Lee
,
P.
Kok
, and
J. P.
Dowling
,
J. Mod. Opt.
49
,
2325
(
2002
).
65.
P.
Kok
,
H.
Lee
, and
J. P.
Dowling
,
Phys. Rev. A
65
,
052104
(
2002
).
66.
P.
Walther
,
J. W.
Pan
,
M.
Aspelmeyer
,
R.
Ursin
,
S.
Gasparoni
, and
A.
Zeilinger
,
Nature
429
,
158
(
2004
).
67.
M. W.
Mitchell
,
J. S.
Lundeen
, and
A. M.
Steinberg
,
Nature
429
,
161
(
2004
).
68.
G. J.
Pryde
and
A. G.
White
,
Phys. Rev. A
68
,
052315
(
2003
).
69.
H.
Cable
and
J. P.
Dowling
,
Phys. Rev. Lett.
99
,
163604
(
2007
).
70.
D. M.
Greenberger
,
M. A.
Horne
, and
A.
Zeilinger
, in
Bell's Theorem, Quantum Theory and Conceptions of the Universe
(
Springer
,
Dordrecht
,
1989
), pp.
69
72
.
71.
V.
Giovannetti
,
S.
Lloyd
, and
L.
Maccone
,
Nat. Photon.
5
,
222
(
2011
).
72.
P.
Hyllus
,
W.
Laskowski
,
R.
Krischek
,
C.
Schwemmer
,
W.
Wieczorek
,
H.
Weinfurter
,
L.
Pezzé
, and
A.
Smerzi
,
Phys. Rev. A
85
,
022321
(
2012
).
73.
Ł.
Czekaj
,
A.
Przysiężna
,
M.
Horodecki
, and
P.
Horodecki
,
Phys. Rev. A
92
,
062303
(
2015
).
74.
G.
Tóth
,
Phys. Rev. A
85
,
022322
(
2012
).
75.
M.
Oszmaniec
,
R.
Augusiak
,
C.
Gogolin
,
J.
Kołodyński
,
A.
Acin
, and
M.
Lewenstein
,
Phys. Rev. X
6
,
041044
(
2016
).
76.
Y.
Ouyang
,
N.
Shettell
, and
D.
Markham
, preprint arXiv:1908.02378 (
2019
).
77.
Y.
Ouyang
,
Phys. Rev. A
90
,
062317
(
2014
).
78.
B.
Koczor
,
S.
Endo
,
T.
Jones
,
Y.
Matsuzaki
, and
S. C.
Benjamin
, preprint arXiv:1908.08904 (
2019
).
79.
A.
Shimizu
and
T.
Morimae
,
Phys. Rev. Lett.
95
,
090401
(
2005
).
80.
O.
Gühne
and
G.
Toth
,
Phys. Rep.
474
,
1
(
2009
).
81.
L.
Pezzé
and
A.
Smerzi
,
Phys. Rev. Lett.
102
,
100401
(
2009
).
82.
I.
Apellaniz
,
M.
Kleinmann
,
O.
Gühne
, and
G.
Tóth
,
Phys. Rev. A
95
,
032330
(
2017
).
83.
R.
Augusiak
,
J.
Kołodyński
,
A.
Streltsov
,
M. N.
Bera
,
A.
Acin
, and
M.
Lewenstein
,
Phys. Rev. A
94
,
012339
(
2016
).
84.
S.
Boixo
,
S. T.
Flammia
,
C. M.
Caves
, and
J.
Geremia
,
Phys. Rev. Lett.
98
,
090401
(
2007
).
85.
S. M.
Roy
and
S. L.
Braunstein
,
Phys. Rev. Lett.
100
,
220501
(
2008
).
86.
M.
Zwierz
,
C. A.
Pérez-Delgado
, and
P.
Kok
,
Phys. Rev. Lett.
105
,
180402
(
2010
).
87.
M.
Zwierz
,
C. A.
Perez-Delgado
, and
P.
Kok
,
Phys. Rev. Lett.
107
,
059904
(
2011
).
88.
M.
Zwierz
,
C. A.
Perez-Delgado
, and
P.
Kok
,
Phys. Rev. A
85
,
042112
(
2012
).
89.
M. J. W.
Hall
,
D. W.
Berry
,
M.
Zwierz
, and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. A
85
,
041802
(
2012
).
90.
C. M.
Caves
,
Phys. Rev. D
23
,
1693
(
1981
).
91.
L.
Pezzé
and
A.
Smerzi
,
Phys. Rev. Lett.
100
,
073601
(
2008
).
92.
X.-X.
Jing
,
J.
Liu
,
W.
Zhong
, and
X.-G.
Wang
,
Commun. Theor. Phys.
61
,
115
(
2014
).
93.
J.
Joo
,
K.
Park
,
H.
Jeong
,
W. J.
Munro
,
K.
Nemoto
, and
T. P.
Spiller
,
Phys. Rev. A
86
,
043828
(
2012
).
94.
T.
Ono
and
H. F.
Hofmann
,
Phys. Rev. A
81
,
033819
(
2010
).
95.
J.
Joo
,
W.
Munro
, and
T.
Spiller
,
Phys. Rev. Lett.
107
,
083601
(
2011
).
96.
Y. M.
Zhang
,
X. W.
Li
,
W.
Yang
, and
G. R.
Jin
,
Phys. Rev. A
88
,
043832
(
2013
).
97.
H.
Wang
 et al,
Phys. Rev. Lett.
106
,
060401
(
2011
).
98.
L.
Zhang
and
K. W. C.
Chan
,
Phys. Rev. A
95
,
032321
(
2017
).
99.
T.
Baumgratz
and
A.
Datta
,
Phys. Rev. Lett.
116
,
030801
(
2016
).
100.
P. C.
Humphreys
,
M.
Barbieri
,
A.
Datta
, and
I. A.
Walmsley
,
Phys. Rev. Lett.
111
,
070403
(
2013
).
101.
J.
Liu
,
X.-M.
Lu
,
Z.
Sun
, and
X.
Wang
,
J. Phys. A: Math. Theor.
49
,
115302
(
2016
).
102.
J.-D.
Yue
,
Y.-R.
Zhang
, and
H.
Fan
,
Sci. Rep.
4
,
5933
(
2014
).
103.
P. A.
Knott
,
T. J.
Proctor
,
A. J.
Hayes
,
J. F.
Ralph
,
P.
Kok
, and
J. A.
Dunningham
,
Phys. Rev. A
94
,
062312
(
2016
).
104.
J. S.
Sidhu
and
P.
Kok
,
Phys. Rev. A
95
,
063829
(
2017
).
105.
D.
Braun
,
G.
Adesso
,
F.
Benatti
,
R.
Floreanini
,
U.
Marzolino
,
M. W.
Mitchell
, and
S.
Pirandola
,
Rev. Mod. Phys.
90
,
035006
(
2018
).
106.
S.
Pirandola
,
B. R.
Bardhan
,
T.
Gehring
,
C.
Weedbrook
, and
S.
Lloyd
,
Nat. Photonics
12
,
724
(
2018
).
107.
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. Lett.
75
,
4587
(
1995
).
108.
M. A.
Armen
,
J. K.
Au
,
J. K.
Stockton
,
A. C.
Doherty
, and
H.
Mabuchi
,
Phys. Rev. Lett.
89
,
133602
(
2002
).
109.
D. W.
Berry
and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. Lett.
85
,
5098
(
2000
).
110.
D. W.
Berry
and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. A
65
,
043803
(
2002
).
111.
D. W.
Berry
and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. A
73
,
063824
(
2006
).
112.
D. W.
Berry
and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. A
87
,
019901
(
2013
).
113.
A.
Fujiwara
,
J. Phys. A: Math. Gen.
39
,
12489
(
2006
).
114.
R.
Okamoto
,
S.
Oyama
,
K.
Yamagata
,
H.
Imai
,
A.
Fujiwara
, and
S.
Takeuchi
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
130404
(
2012
).
115.
A.
Serafini
,
ISRN Optics
2012
,
275016
(
2012
).
116.
P.
Palittapongarnpim
and
B. C.
Sanders
,
Phys. Rev. A
100
,
012106
(
2019
).
117.
J.
Aasi
,
J.
Abadie
,
B. P.
Abbott
,
R.
Abbott
,
T. D.
Abbott
,
M. R.
Abernathy
,
C.
Adams
,
T.
Adams
,
P.
Addesso
,
R. X.
Adhikari
, et al,
Nat. Photonics
7
,
613
(
2013
).
118.
B. L.
Higgins
,
D. W.
Berry
,
S. D.
Bartlett
,
H. M.
Wiseman
, and
G. J.
Pryde
,
Nature
450
,
393
(
2007
).
119.
B. L.
Higgins
,
D. W.
Berry
,
S. D.
Bartlett
,
M. W.
Mitchell
,
H. M.
Wiseman
, and
G. J.
Pryde
,
New J. Phys.
11
,
073023
(
2009
).
120.
J.
Kołodyński
and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
Phys. Rev. A
82
,
053804
(
2010
).
121.
B.
Gong
and
W.
Cui
, preprint arXiv:1702.08089 (
2017
).
122.
M. D.
Vidrighin
,
G.
Donati
,
M. G.
Genoni
,
X.-M.
Jin
,
W. S.
Kolthammer
,
M.
Kim
,
A.
Datta
,
M.
Barbieri
, and
I. A.
Walmsley
,
Nat. Commun.
5
,
3532
(
2014
).
123.
D. W.
Berry
,
M.
Tsang
,
M. J. W.
Hall
, and
H. M.
Wiseman
,
Phys. Rev. X
5
,
031018
(
2015
).
124.
P. J. D.
Crowley
,
A.
Datta
,
M.
Barbieri
, and
I. A.
Walmsley
,
Phys. Rev. A
89
,
023845
(
2014
).
125.
S.
Pang
and
T. A.
Brun
,
Phys. Rev. A
90
,
022117
(
2014
).
126.
Y.
Yao
,
L.
Ge
,
X.
Xiao
,
X.
Wang
, and
C. P.
Sun
,
Phys. Rev. A
90
,
062113
(
2014
).
127.
J.
Zhang
and
M.
Sarovar
,
Phys. Rev. Lett.
113
,
080401
(
2014
).
128.
N.
Kura
and
M.
Ueda
,
Phys. Rev. A
97
,
012101
(
2018
).
129.
H.
Imai
and
A.
Fujiwara
,
J. Phys. A: Math. Theor.
40
,
4391
(
2007
).
130.
S.
Gammelmark
and
K.
Mølmer
,
Phys. Rev. Lett.
112
,
170401
(
2014
).
131.
D.
Šafránek
,
Phys. Rev. A
97
,
042322
(
2018
).
132.
A. S.
Holevo
,
Probabilistic and Statistical Aspects of Quantum Theory
(
North Holland
,
Amsterdam
,
1982
).
133.
S.
Ragy
,
M.
Jarzyna
, and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
Phys. Rev. A
94
,
052108
(
2016
).
134.
M.
Guţă
and
J.
Kahn
,
Phys. Rev. A
73
,
052108
(
2006
).
135.
M.
Hayashi
and
K.
Matsumoto
,
J. Math. Phys.
49
,
102101
(
2008
).
136.
K.
Yamagata
,
A.
Fujiwara
, and
R. D.
Gill
,
Ann. Stat.
41
,
2197
(
2013
).
137.
Y.
Yang
,
G.
Chiribella
, and
M.
Hayashi
,
Commun. Math. Phys.
368
,
223
(
2019
).
138.
J.
Suzuki
,
J. Math. Phys.
57
,
042201
(
2016
).
139.
M.
Bradshaw
,
S. M.
Assad
, and
P. K.
Lam
,
Phys. Lett. A
381
,
2598
(
2017
).
140.
M.
Bradshaw
,
P. K.
Lam
, and
S. M.
Assad
,
Phys. Rev. A
97
,
012106
(
2018
).
141.
F.
Albarelli
,
J. F.
Friel
, and
A.
Datta
,
Phys. Rev. Lett.
123
,
200503
(
2019
).
142.
J. S.
Sidhu
,
Y.
Ouyang
,
E. T.
Campbell
, and
P.
Kok
, preprint arXiv:quant-ph/1912.09218 (
2019
).
143.
J.
Kahn
and
M.
Guta
,
Commun. Math. Phys.
289
,
597
(
2009
).
144.
K.
Matsumoto
,
J. Phys. A: Math. Gen.
35
,
3111
(
2002
).
145.
A.
Monras
and
F.
Illuminati
,
Phys. Rev. A
83
,
012315
(
2011
).
146.
R. D.
Gill
and
M.
Guta
, preprint arXiv:org1112.2078v2 (
2012
).
147.
C.
Vaneph
,
T.
Tufarelli
, and
M. G.
Genoni
,
Quant. Meas. Quant. Metr.
1
,
12
(
2013
).
148.
J.
Yang
,
S.
Pang
,
Y.
Zhou
, and
A. N.
Jordan
,
Phys. Rev. A
100
,
032104
(
2019
).
149.
A.
Fujiwara
,
Math. Eng. Tech. Rep.
94
,
9
(
1994
).
150.
M. G.
Genoni
,
M. G. A.
Paris
,
G.
Adesso
,
H.
Nha
,
P. L.
Knight
, and
M. S.
Kim
,
Phys. Rev. A
87
,
012107
(
2013
).
151.
P.
Kok
,
J.
Dunningham
, and
J. F.
Ralph
,
Phys. Rev. A
95
,
012326
(
2017
).
152.
C. W.
Helstrom
and
R. S.
Kennedy
,
IEEE Trans. Inf. Theory
20
,
16
(
1974
).
153.
V. P.
Belavkin
,
Theor. Math. Phys.
26
,
213
(
1976
).
154.
A.
Fujiwara
,
Phys. Rev. A
65
,
012316
(
2001
).
155.
H. P.
Yuen
and
M.
Lax
,
IEEE Trans. Inf. Theory
19
,
740
(
1973
).
156.
C.
Macchiavello
,
Phys. Rev. A
67
,
062302
(
2003
).
157.
M. A.
Ballester
,
Phys. Rev. A
70
,
032310
(
2004
).
158.
M. A.
Ballester
,
Phys. Rev. A
69
,
022303
(
2004
).
159.
E.
Bagan
,
M. A.
Ballester
,
R. D.
Gill
,
A.
Monras
, and
R.
Muñoz Tapia
,
Phys. Rev. A
73
,
032301
(
2006
).
160.
L.
Pezzè
,
M. A.
Ciampini
,
N.
Spagnolo
,
P. C.
Humphreys
,
A.
Datta
,
I. A.
Walmsley
,
M.
Barbieri
,
F.
Sciarrino
, and
A.
Smerzi
,
Phys. Rev. Lett.
119
,
130504
(
2017
).
161.
H.
Yuan
,
Phys. Rev. Lett.
117
,
160801
(
2016
).
162.
M.
Szczykulska
,
T.
Baumgratz
, and
A.
Datta
,
Quantum Sci. Technol.
2
,
044004
(
2017
).
163.
R. D.
Gill
and
S.
Massar
,
Phys. Rev. A
61
,
042312
(
2000
).
164.
M. E.
Pearce
,
E. T.
Campbell
, and
P.
Kok
,
Quantum
1
,
21
(
2017
).
165.
A.
Acín
,
Phys. Rev. Lett.
87
,
177901
(
2001
).
166.
G. M.
D'Ariano
,
P. L.
Presti
, and
M. G. A.
Paris
,
Phys. Rev. Lett.
87
,
270404
(
2001
).
167.
R.
Duan
,
Y.
Feng
, and
M.
Ying
,
Phys. Rev. Lett.
98
,
100503
(
2007
).
168.
G.
Chiribella
,
G. M.
D'Ariano
, and
P.
Perinotti
,
Phys. Rev. Lett.
101
,
180501
(
2008
).
169.
A. W.
Harrow
,
A.
Hassidim
,
D. W.
Leung
, and
J.
Watrous
,
Phys. Rev. A
81
,
032339
(
2010
).
170.
R.
Duan
,
Y.
Feng
, and
M.
Ying
,
Phys. Rev. Lett.
103
,
210501
(
2009
).
171.
D.
Petz
,
Linear Algebra Appl.
244
,
81
(
1996
).
172.
L.
Maccone
and
A. K.
Pati
,
Phys. Rev. Lett.
113
,
260401
(
2014
).
173.
D.
Petz
,
J. Math. Phys.
35
,
780
(
1994
).
174.
V.
Vedral
,
Rev. Mod. Phys.
74
,
197
(
2002
).
175.
D.
Petz
and
G.
Toth
,
Lett. Math. Phys.
27
,
205
(
1993
).
176.
M.
Hayashi
,
J. Phys. A: Math. Gen.
35
,
7689
(
2002
).
177.
R.
Kubo
,
M.
Toda
, and
N.
Hashitsume
,
Statistical Physics II: Nonequilibrium Statistical Mechanics
, Springer Series in Solid-state Sciences, Vol.
31
(
Springer
,
Germany
,
1985
).
178.
H. J. D.
Miller
and
J.
Anders
,
Nat. Commun.
9
,
349
(
2018
).
179.
E. A.
Morozova
and
N. N.
Chentsov
,
Itogi Nauki Tekh., Ser.
36
,
69
(
1990
).
180.
E. P.
Wigner
and
M. M.
Yanase
,
Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A.
49
,
910
(
1963
).
181.
S.
Luo
,
Phys. Rev. Lett.
91
,
180403
(
2003
).
182.
S.
Furuichi
and
K.
Yanagi
,
J. Math. Anal. Appl.
388
,
1147
(
2012
).
183.
Z.
Chen
,
Phys. Rev. A
71
,
052302
(
2005
).
184.
X.
Li
,
D.
Li
,
H.
Huang
, and
L. C.
Kwek
,
Eur. Phys. J. D
64
,
147
(
2011
).
185.
I.
Frérot
and
T.
Roscilde
,
Phys. Rev. B
94
,
075121
(
2016
).
186.
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
Phys. Rev. A
83
,
061802
(
2011
).
187.
K.
Macieszczak
,
M.
Fraas
, and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
New J. Phys.
16
,
113002
(
2014
).
188.
S. D.
Personick
,
IEEE Trans. Inf. Theory
17
,
240
(
1971
).
189.
K.
Chabuda
,
I. D.
Leroux
, and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
New J. Phys.
18
,
083035
(
2019
).
190.
J.
Rubio
and
J.
Dunningham
,
New J. Phys.
21
,
043037
(
2019
).
191.
J. Z.
Bernád
,
C.
Sanavio
, and
A.
Xuereb
,
Phys. Rev. A
97
,
063821
(
2018
).
192.
J. Z.
Bernád
,
C.
Sanavio
, and
A.
Xuereb
,
Phys. Rev. A
99
,
062106
(
2019
).
193.
W.
Rządkowski
and
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
Phys. Rev. A
96
,
032319
(
2017
).
194.
J.
Rubio
and
J.
Dunningham
, preprint arXiv:1906.04123v2 (
2019
).
195.
C.
Weedbrook
,
S.
Pirandola
,
R.
García-Patrón
,
N. J.
Cerf
,
T. C.
Ralph
,
J. H.
Shapiro
, and
S.
Lloyd
,
Rev. Mod. Phys.
84
,
621
(
2012
).
196.
A.
Ferraro
,
S.
Olivares
, and
M. G. A.
Paris
, preprint arXiv:quant-ph/0503237 (
2005
).
197.
S. L.
Braunstein
,
Phys. Rev. A
71
,
055801
(
2005
).
198.
G.
Adesso
,
S.
Ragy
, and
A. R.
Lee
,
Open Syst. Inf. Dyn.
21
,
1440001
(
2014
).
199.
O.
Pinel
,
J.
Fade
,
D.
Braun
,
P.
Jian
,
N.
Treps
, and
C.
Fabre
,
Phys. Rev. A
85
,
010101
(
2012
).
200.
A.
Monras
, preprint arXiv:1303.3682 (
2013
).
201.
Z.
Jiang
,
Phys. Rev. A
89
,
032128
(
2014
).
202.
Y.
Gao
and
H.
Lee
,
Eur. Phys. J. D
68
,
347
(
2014
).
203.
D.
Šafránek
,
A. R.
Lee
, and
I.
Fuentes
,
New J. Phys.
17
,
073016
(
2015
).
204.
D.
Šafránek
,
J. Phys. A: Math. Theor.
52
,
035304
(
2019
).
205.
P.
Marian
and
T. A.
Marian
,
Phys. Rev. A
93
,
052330
(
2016
).
206.
P.
Marian
and
T. A.
Marian
,
Phys. Rev. A
86
,
022340
(
2012
).
207.
C.
Oh
,
C.
Lee
,
L.
Banchi
,
S.-Y.
Lee
,
C.
Rockstuhl
, and
H.
Jeong
,
Phys. Rev. A
100
,
012323
(
2019
).
208.
C.
Oh
,
C.
Lee
,
C.
Rockstuhl
,
H.
Jeong
,
J.
Kim
,
H.
Nha
, and
S.-Y.
Lee
,
NPJ Quantum Inf.
5
,
10
(
2019
).
209.
J. M. E.
Fraïsse
and
D.
Braun
,
Phys. Rev. A
95
,
062342
(
2017
).
210.
A.
Holevo
,
Rep. Math. Phys.
13
,
379
(
1978
).
211.
B.
Yurke
,
S. L.
McCall
, and
J. R.
Klauder
,
Phys. Rev. A
33
,
4033
(
1986
).
212.
B. C.
Sanders
and
G. J.
Milburn
,
Phys. Rev. Lett.
75
,
2944
(
1995
).
213.
U.
Dorner
,
R.
Demkowicz-Dobrzanski
,
B. J.
Smith
,
J. S.
Lundeen
,
W.
Wasilewski
,
K.
Banaszek
, and
I. A.
Walmsley
,
Phys. Rev. Lett.
102
,
040403
(
2009
).
214.
M.
Skotiniotis
,
P.
Sekatski
, and
W.
Dür
,
New J. Phys.
17
,
073032
(
2015
).
215.
D. C.
Brody
and
E.-M.
Graefe
,
Entropy
15
,
3361
(
2013
).
216.
M.
Tsang
,
H. M.
Wiseman
, and
C. M.
Caves
,
Phys. Rev. Lett.
106
,
090401
(
2011
).
217.
E.
Magesan
,
A.
Cooper
,
H.
Yum
, and
P.
Cappellaro
,
Phys. Rev. A
88
,
032107
(
2013
).
218.
I.
Urizar-Lanz
,
P.
Hyllus
,
I. L.
Egusquiza
,
M. W.
Mitchell
, and
G.
Tóth
,
Phys. Rev. A
88
,
013626
(
2013
).
219.
S.
Pang
and
T. A.
Brun
,
Phys. Rev. A
93
,
059901
(
2016
).
220.
J. S.
Sidhu
and
P.
Kok
, preprint arXiv:1802.01601 (
2018
).
221.
H.
Yuan
and
C.-H. F.
Fung
,
Phys. Rev. Lett.
115
,
110401
(
2015
).
222.
223.
M.-D.
Choi
,
Linear Algebra Appl.
10
,
285
(
1975
).
224.
K.
Kraus
,
States, Effects, and Operations: Fundamental Notions of Quantum Theory
, 1983rd ed., edited by
A.
Böhma
,
J. D.
Dollard
, and
W. H.
Wootters
, Lecture Notes in Physics (
Springer
,
Heidelberg
,
1983
).
225.
H.
Yuan
and
C.-H. F.
Fung
,
NPJ Quantum Inf.
3
,
14
(
2017
).
226.
R.
Demkowicz-Dobrzanski
,
J.
Kolodynski
, and
M.
Guta
,
Nat. Commun.
3
,
1063
(
2012
).
227.
A.
Monras
and
M. G. A.
Paris
,
Phys. Rev. Lett.
98
,
160401
(
2007
).
228.
R.
Chaves
,
J. B.
Brask
,
M.
Markiewicz
,
J.
Kołodyński
, and
A.
Acin
,
Phys. Rev. Lett.
111
,
120401
(
2013
).
229.
M.
Beau
and
A.
del Campo
,
Phys. Rev. Lett.
119
,
010403
(
2017
).
230.
Y.
Matsuzaki
,
S.
Benjamin
, and
J.
Fitzsimons
,
Phys. Rev. A
84
,
012103
(
2011
).
231.
S.
Dooley
,
W. J.
Munro
, and
K.
Nemoto
,
Phys. Rev. A
94
,
052320
(
2016
).
232.
H. P.
Breuer
and
F.
Petruccione
,
The Theory of Open Quantum Systems
(
Oxford University
,
UK
,
2002
).
233.
P.
Sekatski
,
M.
Skotiniotis
,
J.
Kołodyński
, and
W.
Dür
,
Quantum
1
,
27
(
2017
).
234.
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
J.
Czajkowski
, and
P.
Sekatski
,
Phys. Rev. X
7
,
041009
(
2017
).
235.
S.
Zhou
,
M.
Zhang
,
J.
Preskill
, and
L.
Jiang
,
Nat. Commun.
9
,
78
(
2018
).
236.
E. M.
Kessler
,
I.
Lovchinsky
,
A. O.
Sushkov
, and
M. D.
Lukin
,
Phys. Rev. Lett.
112
,
150802
(
2014
).
237.
W.
Dür
,
M.
Skotiniotis
,
F.
Fröwis
, and
B.
Kraus
,
Phys. Rev. Lett.
112
,
080801
(
2014
).
238.
M. A.
Rubin
and
S.
Kaushik
,
Phys. Rev. A
75
,
053805
(
2007
).
239.
G.
Gilbert
,
M.
Hamrick
, and
Y. S.
Weinstein
,
J. Opt. Soc. Am. B
25
,
1336
(
2008
).
240.
S. D.
Huver
,
C. F.
Wildfeuer
, and
J. P.
Dowling
,
Phys. Rev. A
78
,
063828
(
2008
).
241.
S.
Knysh
,
V. N.
Smelyanskiy
, and
G. A.
Durkin
,
Phys. Rev. A
83
,
021804
(
2011
).
242.
M.
Kacprowicz
,
R.
Demkowicz-Dobrzański
,
W.
Wasilewski
,
K.
Banaszek
, and
I. A.
Walmsley
,
Nat. Photonics
4
,
357
(
2010
).
243.
J.
Roffe
,
D.
Headley
,
N.
Chancellor
,
D.
Horsman
, and
V.
Kendon
,
Quantum Sci. Technol.
3
,
035010
(
2018
).
244.
B. J.
Falaye
,
A. G.
Adepoju
,
A. S.
Aliyu
,
M. M.
Melchor
,
M. S.
Liman
,
O. J.
Oluwadare
,
M. D.
González-Ramírez
, and
K. J.
Oyewumi
,
Sci. Rep.
7
,
16622
(
2017
).
245.
G.
Spedalieri
,
C.
Lupo
,
S. L.
Braunstein
, and
S.
Pirandola
,
Quantum. Sci. Technol.
4
,
015008
(
2018
).
246.
Ying-Wang
,
L.-Y.
Hu
,
Z.-M.
Zhang
, and
C.-P.
Wei
,
Opt. Commun.
427
,
250
(
2018
).
247.
D.
Braun
,
Phys. Rev. Lett.
89
,
277901
(
2002
).
248.
F.
Benatti
,
R.
Floreanini
, and
M.
Piani
,
Phys. Rev. Lett.
91
,
070402
(
2003
).
249.
A.
Streltsov
,
H.
Kampermann
, and
D.
Bruß
,
Phys. Rev. Lett.
107
,
170502
(
2011
).
250.
M.
Piani
,
S.
Gharibian
,
G.
Adesso
,
J.
Calsamiglia
,
P.
Horodecki
, and
A.
Winter
,
Phys. Rev. Lett.
106
,
220403
(
2011
).
251.
A.
Fujiwara
,
Phys. Rev. A
63
,
042304
(
2001
).
252.
A.
Fujiwara
and
H.
Imai
,
J. Phys. A: Math. Gen.
36
,
8093
(
2003
).
253.
A.
Fujiwara
,
Phys. Rev. A
70
,
012317
(
2004
).
254.
Z.
Huang
,
C.
Macchiavello
, and
L.
Maccone
,
Phys. Rev. A
94
,
012101
(
2016
).
255.
Z.
Huang
,
C.
Macchiavello
, and
L.
Maccone
,
Phys. Rev. A
97
,
032333
(
2018
).
256.
K.
Wang
,
X.
Wang
,
X.
Zhan
,
Z.
Bian
,
J.
Li
,
B. C.
Sanders
, and
P.
Xue
,
Phys. Rev. A
97
,
042112
(
2018
).
257.
M.
Sbroscia
,
I.
Gianani
,
L.
Mancino
,
E.
Roccia
,
Z.
Huang
,
L.
Maccone
,
C.
Macchiavello
, and
M.
Barbieri
,
Phys. Rev. A
97
,
032305
(
2018
).
258.
J. B.
Altepeter
,
D.
Branning
,
E.
Jeffrey
,
T. C.
Wei
,
P. G.
Kwiat
,
R. T.
Thew
,
J. L.
O'Brien
,
M. A.
Nielsen
, and
A. G.
White
,
Phys. Rev. Lett.
90
,
193601
(
2003
).
259.
M.
Hotta
,
T.
Karasawa
, and
M.
Ozawa
,
Phys. Rev. A
72
,
052334
(
2005
).
260.
S.
Pirandola
and
C.
Lupo
,
Phys. Rev. Lett.
118
,
100502
(
2017
).
261.
M.
Takeoka
and
M. M.
Wilde
, preprint arXiv:quant-ph/1611.09165 (
2016
).
262.
R.
Laurenza
,
C.
Lupo
,
G.
Spedalieri
,
S. L.
Braunstein
, and
S.
Pirandola
,
Quant. Meas. Quant. Metr.
5
,
1
(
2018
).
263.
S.
Pirandola
,
R.
Laurenza
,
C.
Ottaviani
, and
L.
Banchi
,
Nat. Commun.
8
,
15043
(
2017
).
264.
P.
Papanastasiou
,
C.
Lupo
,
C.
Weedbrook
, and
S.
Pirandola
,
Phys. Rev. A
98
,
012340
(
2018
).
265.
S. T.
Flammia
and
J. J.
Wallman
, preprint arXiv:1907.12976 (
2019
)..
266.
C. H.
Bennett
,
D. P.
DiVincenzo
, and
J. A.
Smolin
,
Phys. Rev. Lett.
78
,
3217
(
1997
).
267.
S.
Pirandola
,
R.
Laurenza
,
C.
Lupo
, and
J. L.
Pereira
,
NPJ Quantum Inf.
5
,
50
(
2019
).
268.
Q.
Liao
,
Y.
Guo
,
D.
Huang
,
P.
Huang
, and
G.
Zeng
,
New J. Phys.
20
,
023015
(
2018
).
269.
T.
Cope
and
S.
Pirandola
,
Quant. Meas. Quant. Metr.
4
,
44
(
2017
).
270.
271.
J.
Roffe
,
Contemp. Phys.
60
,
226
(
2019
).
272.
G.
Arrad
,
Y.
Vinkler
,
D.
Aharonov
, and
A.
Retzker
,
Phys. Rev. Lett.
112
,
150801
(
2014
).
273.
S. J.
Devitt
,
W. J.
Munro
, and
K.
Nemoto
,
Rep. Prog. Phys.
76
,
076001
(
2013
).
274.
B. M.
Terhal
,
Rev. Mod. Phys.
87
,
307
(
2015
).
275.
D.
Layden
,
S.
Zhou
,
P.
Cappellaro
, and
L.
Jiang
,
Phys. Rev. Lett.
122
,
040502
(
2019
).
276.
F.
Reiter
,
A. S.
Sørensen
,
P.
Zoller
, and
C. A.
Muschik
,
Nat. Commun.
8
,
1822
(
2017
).
277.
T.
Unden
 et al,
Phys. Rev. Lett.
116
,
230502
(
2016
).
278.
D.
Layden
and
P.
Cappellaro
,
NPJ Quantum Inf.
4
,
30
(
2018
).
279.
W.
Ge
,
K.
Jacobs
,
Z.
Eldredge
,
A. V.
Gorshkov
, and
M.
Foss-Feig
,
Phys. Rev. Lett.
121
,
043604
(
2018
).
280.
T. J.
Proctor
,
P. A.
Knott
, and
J. A.
Dunningham
,
Phys. Rev. Lett.
120
,
080501
(
2018
).
281.
Q.
Zhuang
,
Z.
Zhang
, and
J. H.
Shapiro
,
Phys. Rev. A
97
,
032329
(
2018
).
282.
H. J.
Kimble
,
Nature
453
,
1023
(
2008
).
283.
N. H.
Nickerson
,
Y.
Li
, and
S. C.
Benjamin
,
Nat. Commun.
4
,
1756
(
2013
).
284.
M.
Sasaki
 et al,
Opt. Express
19
,
10387
(
2011
).
285.
S.-K.
Liao
 et al,
Nature
549
,
43
(
2017
).
286.
T. J.
Proctor
,
P. A.
Knott
, and
J. A.
Dunningham
, preprint arXiv:1702.04271 (
2017
).
287.
J. P.
Olson
,
K. R.
Motes
,
P. M.
Birchall
,
N. M.
Studer
,
M.
LaBorde
,
T.
Moulder
,
P. P.
Rohde
, and
J. P.
Dowling
,
Phys. Rev A
96
,
013810
(
2017
).
288.
N.
Friis
,
D.
Orsucci
,
M.
Skotiniotis
,
P.
Sekatski
,
V.
Dunjko
,
H. J.
Briegel
, and
W.
Dür
,
New J. Phys.
19
,
063044
(
2017
).
289.
R.
Yousefjani
,
R.
Nichols
,
S.
Salimi
, and
G.
Adesso
,
Phys. Rev. A
95
,
062307
(
2017
).
290.
W. D.
Pavel Sekatski
and
S.
Wölk
, preprint arXiv:1905.06765 (
2019
).
291.
J.
Etesse
,
M.
Bouillard
,
B.
Kanseri
, and
R.
Tualle-Brouri
,
Phys. Rev. Lett.
114
,
193602
(
2015
).
292.
P. A.
Knott
,
T. J.
Proctor
,
A. J.
Hayes
,
J. P.
Cooling
, and
J. A.
Dunningham
,
Phys. Rev. A
93
,
033859
(
2016
).
293.
F.
Wolfgramm
,
C.
Vitelli
,
F. A.
Beduini
,
N.
Godbout
, and
M. W.
Mitchell
,
Nat. Photonics
7
,
28
(
2013
).
294.
M. A.
Taylor
,
J.
Janousek
,
V.
Daria
,
J.
Knittel
,
B.
Hage
,
H.-A.
Bachor
, and
W. P.
Bowen
,
Nat. Photonics
7
,
229
(
2013
).
295.
M. A.
Taylor
,
J.
Janousek
,
V.
Daria
,
J.
Knittel
,
B.
Hage
,
H.-A.
Bachor
, and
W. P.
Bowen
,
Phys. Rev. X
4
,
011017
(
2014
).
296.
L. M.
Pham
 et al,
New J. Phys.
13
,
045021
(
2011
).
297.
N.
Alfasi
,
S.
Masis
,
O.
Shtempluck
,
V.
Kochetok
, and
E.
Buks
,
AIP Adv.
6
,
075311
(
2016
).
298.
P.
Kómár
,
E. M.
Kessler
,
M.
Bishof
,
L.
Jiang
,
A. S.
Sørensen
,
J.
Ye
, and
M. D.
Lukin
,
Nature
10
,
582
(
2014
).
299.
K.
Qian
,
Z.
Eldredge
,
W.
Ge
,
G.
Pagano
,
C.
Monroe
,
J. V.
Porto
, and
A. V.
Gorshkov
,
Phys. Rev. A
100
,
042304
(
2019
).
300.
J. A.
Gross
, see https://www.unm.edu/∼jagross/2019/03/10/function-estimation.html for “Estimating functions of multiple parameters” (
2019
).
301.
Z.
Eldredge
,
M.
Foss-Feig
,
J. A.
Gross
,
S. L.
Rolston
, and
A. V.
Gorshkov
,
Phys. Rev. A
97
,
042337
(
2018
).
You do not currently have access to this content.