We review recent advances in the research on quantum parametric phenomena in superconducting circuits with Josephson junctions. We discuss physical processes in parametrically driven tunable cavity and outline theoretical foundations for their description. Amplification and frequency conversion are discussed in detail for degenerate and nondegenerate parametric resonance, including quantum noise squeezing and photon entanglement. Experimental advances in this area played decisive role in successful development of quantum limited parametric amplifiers for superconducting quantum information technology. We also discuss nonlinear down-conversion processes and experiments on self-sustained parametric and subharmonic oscillations.

1.
J. M.
Chow
,
J. M.
Gambetta
,
E.
Magesan
,
D. W.
Abraham
,
A. W.
Cross
,
B. R.
Johnson
,
N. A.
Masluk
,
C. A.
Ryan
,
J. A.
Smolin
,
S. J.
Srinivasan
, and
M.
Steffen
,
Nat. Commun.
5
,
4015
(
2014
).
2.
N. K.
Langford
,
R.
Sagastizabal
,
M.
Kounalakis
,
C.
Dickel
,
A.
Bruno
,
F.
Luthi
,
D. J.
Thoen
,
A.
Endo
, and
L.
DiCarlo
,
Nat. Commun.
8
,
1715
(
2017
).
3.
Y
.
Makhlin
,
G.
Schön
, and
A.
Shnirman
,
Rev. Mod. Phys.
73
,
357
(
2001
).
4.
M. H.
Devoret
,
A.
Wallraff
, and
J. M.
Martinis
, Superconducting Qubits: A Short Review, arXiv:cond-mat/0411174 (2004).
5.
G.
Wendin
and
V. S.
Shumeiko
,
Fiz. Nizk. Temp.
33
,
957
(
2007
) [
Low Temp. Phys.
33, 724 (2007)].
6.
R. J.
Schoelkopf
and
S. M.
Girvin
,
Nature
451
,
664
(
2008
).
7.
X.
Gu
,
A. F.
Kockum
,
A.
Miranowicz
,
Y.-X.
Liu
, and
F.
Nori
,
Phys. Rep.
718
,
1
(
2017
).
8.
G.
Wendin
,
Rep. Prog. Phys.
80
,
106001
(
2017
).
9.
N.
Bergeal
,
F.
Schackert
,
M.
Metcalfe
,
R.
Vijay
,
V. E.
Manucharyan
,
L.
Frunzio
,
D. E.
Prober
,
R. J.
Schoelkopf
,
S. M.
Girvin
, and
M. H.
Devoret
,
Nature
465
,
64
(
2010
).
10.
C.
Eichler
,
D.
Bozyigit
,
C.
Lang
,
M.
Baur
,
L.
Steffen
,
J. M.
Fink
,
S.
Filipp
, and
A.
Wallraff
,
Phys. Rev. Lett.
107
,
113601
(
2011
).
11.
N.
Bergeal
,
F.
Schackert
,
L.
Frunzio
, and
M. H.
Devoret
,
Phys. Rev. Lett.
108
,
123902
(
2012
).
12.
E.
Flurin
,
N.
Roch
,
F.
Mallet
,
M. H.
Devoret
, and
B.
Huard
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
183901
(
2012
).
13.
N.
Roch
,
E.
Flurin
,
F.
Nguyen
,
P.
Morfin
,
P.
Campagne-Ibarcq
,
M. H.
Devoret
, and
B.
Huard
,
Phys. Rev. Lett.
108
,
147701
(
2012
).
14.
C.
Eichler
,
C.
Lang
,
J. M.
Fink
,
J.
Govenius
,
S.
Filipp
, and
A.
Wallraff
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
240501
(
2012
).
15.
T.
Yamamoto
,
K.
Inomata
,
M.
Watanabe
,
K.
Matsuba
,
T.
Miyazaki
,
W. D.
Oliver
,
Y.
Nakamura
, and
J. S.
Tsai
,
Appl. Phys. Lett.
93
,
042510
(
2008
).
16.
R.
Vijay
,
D. H.
Slichter
, and
I.
Siddiqi
,
Phys. Rev. Lett.
106
,
110502
(
2011
).
17.
D.
Riste
,
J. G.
van Leeuwen
,
H.-S.
Ku
,
K. W.
Lehnert
, and
L.
DiCarlo
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
050507
(
2012
).
18.
E. P.
Menzel
,
R.
Di Candia
,
F.
Deppe
,
P.
Eder
,
L.
Zhong
,
M.
Ihmig
,
M.
Haeberlein
,
A.
Baust
,
E.
Hoffmann
,
D.
Ballester
,
K.
Inomata
,
T.
Yamamoto
,
Y.
Nakamura
,
E.
Solano
,
A.
Marx
, and
R.
Gross
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
250502
(
2012
).
19.
Z. R.
Lin
,
K.
Inomata
,
W. D.
Oliver
,
K.
Koshino
,
Y.
Nakamura
,
J. S.
Tsai
, and
T.
Yamamoto
,
Appl. Phys. Lett.
103
,
132602
(
2013
).
20.
X.
Zhou
,
V.
Schmitt
,
P.
Bertet
,
D.
Vion
,
W.
Wustmann
,
V.
Shumeiko
, and
D.
Esteve
,
Phys. Rev. B
89
,
214517
(
2014
).
21.
L.
Zhong
,
E. P.
Menzel
,
R.
Di Candia
,
P.
Eder
,
M.
Ihmig
,
A.
Baust
,
M.
Haeberlein
,
E.
Hoffmann
,
K.
Inomata
,
T.
Yamamoto
,
Y.
Nakamura
,
E.
Solano
,
F.
Deppe
,
A.
Marx
, and
R.
Gross
,
New J. Phys.
15
,
125013
(
2013
).
22.
T.
Niemczyk
,
F.
Deppe
,
H.
Huebl
,
E. P.
Menzel
,
F.
Hocke
,
M. J.
Schwarz
,
J. J.
Garcia-Ripoll
,
D.
Zueco
,
T.
Hümmer
,
E.
Solano
,
A.
Marx
, and
R.
Gross
,
Nat. Phys.
6
,
772
(
2010
).
23.
P.
Forn-Díaz
,
J. J.
García-Ripoll
,
B.
Peropadre
,
M. A.
Yurtalan
,
J. L.
Orgiazzi
,
R.
Belyansky
,
C. M.
Wilson
, and
A.
Lupascu
,
Nat. Phys.
13
,
39
(
2017
).
24.
F.
Yoshihara
,
T.
Fuse
,
S.
Ashhab
,
K.
Kakuyanagi
,
S.
Saito
, and
K.
Semba
,
Nat. Phys.
13
,
44
(
2017
).
25.
C. M.
Wilson
,
G.
Johansson
,
A.
Pourkabirian
,
M.
Simoen
,
J. R.
Johansson
,
T.
Duty
,
F.
Nori
, and
P.
Delsing
,
Nature
479
,
376
(
2011
).
26.
B.
Vlastakis
,
G.
Kirchmair
,
Z.
Leghtas
,
S. E.
Nigg
,
L.
Frunzio
,
S. M.
Girvin
,
M.
Mirrahimi
,
M. H.
Devoret
, and
R. J.
Schoelkopf
,
Science
342
,
607
(
2013
).
27.
Z.
Leghtas
,
S.
Touzard
,
I. M.
Pop
,
A.
Kou
,
B.
Vlastakis
,
A.
Petrenko
,
K. M.
Sliwa
,
A.
Narla
,
S.
Shankar
,
M. J.
Hatridge
,
M.
Reagor
,
L.
Frunzio
,
R. J.
Schoelkopf
,
M.
Mirrahimi
, and
M. H.
Devoret
,
Science
347
,
853
(
2015
).
28.
M.
Wallquist
,
V. S.
Shumeiko
, and
G.
Wendin
,
Phys. Rev. B
74
,
224506
(
2006
).
29.
M.
Sandberg
,
C. M.
Wilson
,
F.
Persson
,
T.
Bauch
,
G.
Johansson
,
V.
Shumeiko
,
T.
Duty
, and
P.
Delsing
,
Appl. Phys. Lett.
92
,
203501
(
2008
).
30.
C. M.
Wilson
,
T.
Duty
,
M.
Sandberg
,
F.
Persson
,
V.
Shumeiko
, and
P.
Delsing
,
Phys. Rev. Lett.
105
,
233907
(
2010
).
31.
M.
Aspelmeyer
,
T. J.
Kippenberg
, and
F.
Marquardt
,
Rev. Mod. Phys.
86
,
1391
(
2014
).
32.
G. T.
Moore
,
J. Math. Phys.
11
,
2679
(
1970
).
33.
J. R.
Johansson
,
G.
Johansson
,
C. M.
Wilson
, and
F.
Nori
,
Phys. Rev. Lett.
103
,
147003
(
2009
).
34.
J. R.
Johansson
,
G.
Johansson
,
C. M.
Wilson
, and
F.
Nori
,
Phys. Rev. Appl.
82
,
052509
(
2010
).
35.
A. H.
Nayfeh
and
D. T.
Mook
,
Nonlinear Oscillations
(
Wiley
,
New York
,
1979
).
36.
N. N.
Bogoliubov
and
Y. A.
Mitropolsky
,
Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations
(
Gordon & Breach
,
1961)
.
37.
D. W.
Jordan
and
P.
Smith
,
Nonlinear Ordinary Differential Equations
(
Oxford University Press
,
Oxford
,
2007
).
38.
A.
Bengtsson
, “Degenerate and nondegenerate josephson parametric oscillators for quantum information applications,” Licentiate thesis, Chalmers University of Technology (
2017)
.
39.
W.
Wustmann
and
V.
Shumeiko
,
Phys. Rev. B
87
,
184501
(
2013
).
40.
B.
Yurke
and
J. S.
Denker
,
Phys. Rev. A
29
,
1419
(
1984
).
41.
M. H.
Devoret
, in “
Quantum entanglement and information processing
,” edited by
D.
Esteve
,
J. M.
Raimond
, and
J.
Dalibard
,
Proceedings of the Les Houches Summer School of Theoretical Physics, LXIII, 1995
(
Elsevier
,
Amsterdam
2004).
42.
J.
Ulrich
and
F.
Hassler
,
Phys. Rev. B
94
,
094505
(
2016
).
43.
C. W.
Gardiner
and
P.
Zoller
,
Quantum Noise
(
Springer
,
Berlin
,
2000
).
44.
M. J.
Collett
and
C. W.
Gardiner
,
Phys. Rev. A
30
,
1386
(
1984
).
45.
B.
Yurke
, in
Quantum Squeezing
, edited by
P. D.
Drummond
and
Z.
Fizek
(
Springer
,
Berlin
,
2004
).
46.
W.
Wustmann
and
V.
Shumeiko
,
Phys. Rev. Appl.
8
,
024018
(
2017
).
47.
M. I.
Dykman
,
C. M.
Maloney
,
V. N.
Smelyanskiy
, and
M.
Silverstein
,
Phys. Rev. E
57
,
5202
(
1998
).
48.
M. A.
Castellanos-Beltran
,
K. D.
Irwin
,
G. C.
Hilton
,
L. R.
Vale
, and
K. W.
Lehnert
,
Nature Phys.
4
,
929
(
2008
).
49.
P.
Lähteenmäki
,
G. S.
Paraoanu
,
J.
Hassel
, and
P. J.
Hakonen
,
PNAS
110
,
4234
(
2013
).
50.
I.-M.
Svensson
,
M.
Pierre
,
M.
Simoen
,
W.
Wustmann
,
P.
Krantz
,
A.
Bengtsson
,
G.
Johansson
,
J.
Bylander
,
V.
Shumeiko
, and
P.
Delsing
,
J. Phys. Conf. Ser.
969
,
012146
(
2018
).
51.
I.-M.
Svensson
, Tunable Superconducting Resonators, Ph.D. thesis, Chalmers University of Technology (2018).
52.
A.
Bengtsson
, Parametric Frequency Conversion in Two Coupled Superconducting Resonators, Master thesis, Chalmers University of Technology (2015).
53.
A.
Lambrecht
,
M.-T.
Jaekel
, and
S.
Reynaud
,
Phys. Rev. Lett.
77
,
615
(
1996
).
54.
B.
Yurke
,
L. R.
Corruccini
,
P. G.
Kaminsky
,
L. W.
Rupp
,
A. D.
Smith
,
A. H.
Silver
,
R. W.
Simon
, and
E. A.
Whittaker
,
Phys. Rev. A
39
,
2519
(
1989
).
55.
M.
Devoret
and
A.
Roy
,
Comptes Rendus Physique
17
,
740
(
2016
); arXiv[cond.-mat]:1605.00539.
56.
C. M.
Caves
,
Phys. Rev. D
26
,
1817
(
1982
).
57.
A. A.
Clerk
,
M. H.
Devoret
,
S. M.
Girvin
,
F.
Marquardt
, and
R. J.
Schoelkopf
,
Rev. Mod. Phys.
82
,
1155
(
2010
).
58.
S. L.
Braunstein
,
Phys. Rev. A
71
,
055801
(
2005
).
59.
G.
Patera
,
N.
Treps
,
C.
Fabre
, and
G. J.
de Valcarcel
,
Eur. Phys. J. D
56
,
123
(
2010
).
60.
C.
Fabre
,
E.
Giacobino
,
A.
Heidmann
, and
S.
Reynaud
,
J. de Physique
50
,
1209
(
1989
).
61.
E.
Zakka-Bajjani
,
F.
Nguyen
,
M.
Lee
,
L. R.
Vale
,
R. W.
Simmonds
, and
J.
Aumentado
,
Nature Phys.
7
,
599
(
2011
).
62.
B.
Abdo
,
K.
Sliwa
,
F.
Schackert
,
N.
Bergeal
,
M.
Hatridge
,
L.
Frunzio
,
A. D.
Stone
, and
M.
Devoret
,
Phys. Rev. Lett.
110
,
173902
(
2013
).
63.
A. J.
Sirois
,
M. A.
Castellanos-Beltran
,
M. P.
DeFeo
,
L.
Ranzani
,
F.
Lecocq
,
R. W.
Simmonds
,
J. D.
Teufel
, and
J.
Aumentado
,
Appl. Phys. Lett.
106
,
172603
(
2015
).
64.
I.-M.
Svensson
,
A.
Bengtsson
,
P.
Krantz
,
J.
Bylander
,
V.
Shumeiko
, and
P.
Delsing
,
Phys. Rev. B
96
,
174503
(
2017
).
65.
L. D.
Landau
and
E. M.
Lifshits
,
Mechanics
(
Butterworth-Heinemann Ltd.
,
1982
).
66.
67.
A.
Bengtsson
,
P.
Krantz
,
M.
Simoen
,
I.-M.
Svensson
,
B.
Schneider
,
V.
Shumeiko
,
P.
Delsing
, and
J.
Bylander
,
Phys. Rev. B
97
,
144502
(
2018
).
68.
G. Y.
Kryuchkyan
and
K. V.
Kheruntsyan
,
Opt. Commun.
127
,
230
(
1996
).
69.
P. D.
Drummond
,
K.
Dechoum
, and
S.
Chaturvedi
,
Phys. Rev. A
65
,
033806
(
2002
).
70.
C. H.
Meaney
,
H.
Nha
,
T.
Duty
, and
G. J.
Milburn
,
EPJ Quantum Techn.
1
,
7
(
2014
).
71.
M.
Marthaler
and
M. I.
Dykman
,
Phys. Rev. A
73
,
042108
(
2006
).
72.
M.
Marthaler
and
M. I.
Dykman
,
Phys. Rev. A
76
,
010102
(
2007
).
73.
V.
Peano
,
M.
Marthaler
, and
M. I.
Dykman
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
090401
(
2012
).
74.
P. T.
Cochrane
,
G. J.
Milburn
, and
W. J.
Munro
,
Phys. Rev. A
59
,
2631
(
1999
).
75.
S.
Puri
,
S.
Boutin
, and
A.
Blais
,
npj Quantum Inf.
3
,
18
(
2017
).
76.
Z. R.
Lin
,
K.
Inomata
,
K.
Koshino
,
W. D.
Oliver
,
Y.
Nakamura
,
J.-S.
Tsai
, and
T.
Yamamoto
,
Nat. Commun.
5
,
4480
(
2014
).
77.
P.
Krantz
,
A.
Bengtsson
,
M.
Simoen
,
S.
Gustavsson
,
V.
Shumeiko
,
W. D.
Oliver
,
C. M.
Wilson
,
P.
Delsing
, and
J.
Bylander
,
Nat. Commun.
7
,
11417
(
2016
).
78.
S. M.
Rytov
,
Y. A.
Kravtsov
, and
V. I.
Tatarskii
,
Principles of Statistical Radiophysics 1
(
Springer-Verlag
,
Berlin
,
2011
).
79.
J. L.
Courtois
,
A.
Smith
,
C.
Fabre
, and
S.
Reynaud
,
J. Mod. Opt.
38
,
177
(
1991
).
81.
C.
Hayashi
,
Nonlinear Oscillations in Physical Systems
(
Princeton University Press
,
Princeton, NJ
,
1985
).
82.
L.
Guo
,
M.
Marthaler
, and
G.
Schön
,
Phys. Rev. Lett.
111
,
205303
(
2013
).
83.
I.-M.
Svensson
,
A.
Bengtsson
,
J.
Bylander
,
V.
Shumeiko
, and
P.
Delsing
,
Appl. Phys. Lett.
113
,
022602
(
2018
).
84.
Reproduced from Ref. 85 with the permission of AIP Publishing.
85.
I.-M.
Svensson
,
A.
Bengtsson
,
P.
Krantz
,
J.
Bylander
,
V.
Shumeiko
, and
P.
Delsing
,
Phys. Rev. B
96
,
174503
(
2017
).
86.
Quantum Squeezing
, edited by
P. D.
Drummond
and
Z.
Fizek
(
Springer
,
Berlin
,
2004)
.
87.
A. M.
Perelomov
,
Sov. Phys. Usp.
20
,
703
(
1977
).
88.
M. J.
Collett
,
Phys. Rev. A
38
,
2233
(
1988
).
89.
Y.
Zhang
,
J.
Gosner
,
S. M.
Girvin
,
J.
Ankerhold
, and
M. I.
Dykman
,
Phys. Rev. A
96
,
052124
(
2017
).
90.
A.
Saraiva
and
F. S.
de Aguiar Júnior
,
R.
de Melo e Souza
, and
A.
Patrocínio Pena
,
Phys. Rev. Lett.
119
,
193603
(
2017
).
91.
J.
Bardeen
,
L. N.
Cooper
, and
J. R.
Schrieffer
,
Phys. Rev.
108
,
1175
(
1957
).
92.
S. J.
van Enk
,
Phys. Rev. A
60
,
5095
(
1999
).
93.
K.
Takata
,
A.
Marandi
, and
Y.
Yamamoto
,
Phys. Rev. A
92
,
043821
(
2015
).
94.
D.
Gottesman
,
A.
Kitaev
, and
J.
Preskill
,
Phys. Rev. A
64
,
012310
(
2001
).
95.
M.
Mirrahimi
,
Z.
Leghtas
,
V. V.
Albert
,
S.
Touzard
,
R. J.
Schoelkopf
,
L.
Jiang
, and
M. H.
Devoret
,
New J. Phys.
16
,
045014
(
2014
).
96.
N.
Bartolo
,
F.
Minganti
,
W.
Casteels
, and
C.
Ciuti
,
Phys. Rev. A
94
,
033841
(
2016
).
97.
V.
Shumeiko
,
Phys. Rev. A
93
,
023838
(
2016
).
98.
J.-M.
Pirkkalainen
,
S. U.
Cho
,
J.
Li
,
G. S.
Paraoanu
,
P. J.
Hakonen
, and
M. A.
Sillanpää
,
Nature
494
,
211
(
2013
).
99.
T. A.
Palomaki
,
J. D.
Teufel
,
R. W.
Simmonds
, and
K. W.
Lehnert
,
Science
342
,
710
(
2013
).
100.
F.
Lecocq
,
J. B.
Clark
,
R. W.
Simmonds
,
J.
Aumentado
, and
J. D.
Teufel
,
Phys. Rev. Lett.
116
,
043601
(
2016
).
101.
C. F.
Ockeloen-Korppi
,
E.
Damskägg
,
J. M.
Pirkkalainen
,
T. T.
Heikkilä
,
F.
Massel
, and
M. A.
Sillanpää
,
Phys. Rev. X 
6
,
041024
(
2016
).
102.
F.
Sun
,
X.
Dong
,
J.
Zou
,
M. I.
Dykman
, and
H. B.
Chan
,
Nat. Commun.
7
,
12694
(
2016
).
103.
J.
Bochmann
,
A.
Vainsencher
,
D. D.
Awschalom
, and
A. N.
Cleland
,
Nat. Phys.
9
,
712
(
2013
).
104.
R. W.
Andrews
,
R. W.
Peterson
,
T. P.
Purdy
,
K.
Cicak
,
R. W.
Simmonds
,
C. A.
Regal
, and
K. W.
Lehnert
,
Nat. Phys.
10
,
321
(
2014
).
You do not currently have access to this content.