The introduction of modern Machine Learning Potentials (MLPs) has led to a paradigm change in the development of potential energy surfaces for atomistic simulations. By providing efficient access to energies and forces, they allow us to perform large-scale simulations of extended systems, which are not directly accessible by demanding first-principles methods. In these simulations, MLPs can reach the accuracy of electronic structure calculations, provided that they have been properly trained and validated using a suitable set of reference data. Due to their highly flexible functional form, the construction of MLPs has to be done with great care. In this Tutorial, we describe the necessary key steps for training reliable MLPs, from data generation via training to final validation. The procedure, which is illustrated for the example of a high-dimensional neural network potential, is general and applicable to many types of MLPs.
REFERENCES
1.
K.
Burke
and L. O.
Wagner
, Int. J. Quantum Chem.
113
, 96
(2012
).2.
F.
Nogueira
, A.
Castro
, and M. A. L.
Marques
, “A tutorial on density functional theory
,” in A Primer in Density Functional Theory
(Springer
, Berlin, Heidelberg
, 2003
), p. 218
.3.
R.
Car
and M.
Parrinello
, Phys. Rev. Lett.
55
, 2471
(1985
).4.
D.
Marx
and J.
Hutter
, Ab Initio Molecular Dynamics: Basic Theory and Advanced Methods
(Cambridge University Press
, 2009
).5.
M.
Born
and R.
Oppenheimer
, Ann. Phys.
389
, 457
(1927
).6.
J.
Tersoff
, Phys. Rev. Lett.
56
, 632
(1986
).7.
M. S.
Daw
and M. I.
Baskes
, Phys. Rev. B
29
, 6443
(1984
).8.
N. L.
Allinger
, Y. H.
Yuh
, and J.-H.
Lii
, J. Am. Chem. Soc.
111
, 8551
(1989
).9.
W. D.
Cornell
, P.
Cieplak
, C. I.
Bayly
, I. R.
Gould
, Jr., K. M.
Merz
, D. M.
Ferguson
, D. C.
Spellmeyer
, T.
Fox
, J. W.
Caldwell
, and P. A.
Kollman
, J. Am. Chem. Soc.
117
, 5179
(1995
).10.
S. L.
Mayo
, B. D.
Olafson
, and W. A.
Goddard
III, J. Phys. Chem.
94
, 8897
(1990
).11.
A. K.
Rappe
, C. J.
Casewit
, K. S.
Colwell
, W. A.
Goddard
III, and W. M.
Skiff
, J. Am. Chem. Soc.
114
, 10024
(1992
).12.
B. R.
Brooks
, R. E.
Bruccoleri
, B. D.
Olafson
, D. J.
States
, S.
Swaminathan
, and M.
Karplus
, J. Comput. Chem.
4
, 187
(1983
).13.
A. C.
Mater
and M. L.
Coote
, J. Chem. Inf. Model.
59
, 2545
(2019
).14.
H. M.
Cartwritght
, Machine Learning in Chemistry: The Impact of Artificial Intelligence
(Royal Society of Chemistry
, 2020
).15.
A.
Karthikeyan
and U. D.
Priyakumar
, J. Chem. Sci.
134
, 2
(2021
).16.
J.
Gasteiger
, A.
Teckentrup
, L.
Terfloth
, and S.
Spycher
, J. Phys. Org. Chem.
16
, 232
(2003
).17.
J. C.
Gertrudes
, V. G.
Maltarollo
, R. A.
Silva
, P. R.
Oliveira
, K. M.
Honorio
, and A. B. F.
da Silva
, Curr. Med. Chem.
19
, 4289
(2012
).18.
M. H. S.
Segler
, M.
Preuss
, and M. P.
Waller
, Nature
555
, 604
(2018
).19.
F.
Strieth-Kalthoff
, F.
Sandfort
, M. H. S.
Segler
, and F.
Glorius
, Chem. Soc. Rev.
49
, 6154
(2020
).20.
J.
Jumper
, R.
Evans
, A.
Pritzel
, T.
Green
, M.
Figurnov
, O.
Ronneberger
, K.
Tunyasuvunakool
, R.
Bates
, A.
Žídek
, A.
Potapenko
, A.
Bridgland
, C.
Meyer
, S. A. A.
Kohl
, A. J.
Ballard
, A.
Cowie
, B.
Romera-Paredes
, S.
Nikolov
, R.
Jain
, J.
Adler
, T.
Back
, S.
Petersen
, D.
Reiman
, E.
Clancy
, M.
Zielinski
, M.
Steinegger
, M.
Pacholska
, T.
Berghammer
, S.
Bodenstein
, D.
Silver
, O.
Vinyals
, A. W.
Senior
, K.
Kavukcuoglu
, P.
Kohli
, and D.
Hassabis
, Nature
596
, 583
(2021
).21.
P. A.
Unzueta
, C. S.
Greenwell
, and G. J. O.
Beran
, J. Chem. Theory Comput.
17
, 826
(2021
).22.
M. S.
Chen
, T. J.
Zuehlsdorff
, T.
Morawietz
, C. M.
Isborn
, and T. E.
Markland
, J. Phys. Chem. Lett.
11
, 7559
(2020
).23.
T. B.
Blank
, S. D.
Brown
, A. W.
Calhoun
, and D. J.
Doren
, J. Chem. Phys.
103
, 4129
(1995
).24.
J.
Behler
, J. Chem. Phys.
145
, 170901
(2016
).25.
J.
Behler
and G.
Csányi
, Eur. Phys. J. B
94
, 142
(2021
).26.
O. T.
Unke
, S.
Chmiela
, H. E.
Sauceda
, M.
Gastegger
, I.
Poltavsky
, K. T.
Schütt
, A.
Tkatchenko
, and K.-R.
Müller
, Chem. Rev.
121
, 10142
(2021
).27.
P.
Friederich
, F.
Häse
, J.
Proppe
, and A.
Aspuru-Guzik
, Nat. Mater.
20
, 750
(2021
).28.
F.
Noé
, A.
Tkatchenko
, K.-R.
Müller
, and C.
Clementi
, Annu. Rev. Phys. Chem.
71
, 361
(2020
).29.
C. M.
Handley
and J.
Behler
, Eur. Phys. J. B
87
, 152
(2014
).30.
V. L.
Deringer
, M. A.
Caro
, and G.
Csányi
, Adv. Mater.
31
, 1902765
(2019
).31.
P. O.
Dral
, J. Phys. Chem. Lett.
11
, 2336
(2020
).32.
J.
Behler
, Int. J. Quantum Chem.
115
, 1032
(2015
).33.
E.
Kocer
, T. W.
Ko
, and J.
Behler
, Annu. Rev. Phys. Chem.
73
, 163
(2022
).34.
J.
Behler
, Phys. Chem. Chem. Phys.
13
, 17930
(2011
).35.
C. M.
Handley
and P. L. A.
Popelier
, J. Phys. Chem. A
114
, 3371
(2010
).36.
T. W.
Ko
, J. A.
Finkler
, S.
Goedecker
, and J.
Behler
, Acc. Chem. Res.
54
, 808
(2021
).37.
S.
Manzhos
and T.
Carrington
, Jr., Chem. Rev.
121
, 10187
(2021
).38.
J.
Behler
, Chem. Rev.
121
, 10037
(2021
).39.
J.
Behler
and M.
Parrinello
, Phys. Rev. Lett.
98
, 146401
(2007
).40.
J.
Behler
, J. Phys.: Condens. Matter
26
, 183001
(2014
).41.
J.
Behler
, Angew. Chem., Int. Ed.
56
, 12828
(2017
).42.
J.
Behler
, J. Chem. Phys.
134
, 074106
(2011
).43.
J. S.
Smith
, O.
Isayev
, and A. E.
Roitberg
, Chem. Sci.
8
, 3192
(2017
).44.
K. T.
Schütt
, H. E.
Sauceda
, P.-J.
Kindermans
, A.
Tkatchenko
, and K.-R.
Müller
, J. Chem. Phys.
148
, 241722
(2018
).45.
S.
Batzner
, A.
Musaelian
, L.
Sun
, M.
Geiger
, J. P.
Mailoa
, M.
Kornbluth
, N.
Molinari
, T. E.
Smidt
, and B.
Kozinsky
, Nat. Commun.
13
, 2453
(2022
).46.
L.
Zhang
, J.
Han
, H.
Wang
, R.
Car
, and W.
E
, Phys. Rev. Lett.
120
, 143001
(2018
).47.
A. P.
Bartók
, M. C.
Payne
, R.
Kondor
, and G.
Csányi
, Phys. Rev. Lett.
104
, 136403
(2010
).48.
A. P.
Bartók
and G.
Csányi
, Int. J. Quantum Chem.
115
, 1051
(2015
).49.
A. V.
Shapeev
, Multiscale Model. Simul.
14
, 1153
(2016
).50.
A. P.
Thompson
, L. P.
Swiler
, C. R.
Trott
, S. M.
Foiles
, and G. J.
Tucker
, J. Comput. Phys.
285
, 316
(2015
).51.
R.
Drautz
, Phys. Rev. B
99
, 014104
(2019
).52.
N.
Artrith
, T.
Morawietz
, and J.
Behler
, Phys. Rev. B
83
, 153101
(2011
).53.
O. T.
Unke
and M.
Meuwly
, J. Chem. Theory Comput.
15
, 3678
(2019
).54.
K.
Yao
, J. E.
Herr
, D. W.
Toth
, R.
Mckintyre
, and J.
Parkhill
, Chem. Sci.
9
, 2261
(2018
).55.
L.
Zhang
, H.
Wang
, M. C.
Muniz
, A. Z.
Panagiotopoulos
, R.
Car
, and W.
E
, J. Chem. Phys.
156
, 124107
(2022
).56.
B. C. B.
Symons
and P. L. A.
Popelier
, J. Chem. Theory Comput.
18
, 5577
(2022
).57.
S.
Houlding
, S. Y.
Liem
, and P. L. A.
Popelier
, Int. J. Quantum Chem.
107
, 2817
(2007
).58.
T.
Bereau
, D.
Andrienko
, and O. A.
von Lilienfeld
, J. Chem. Theory Comput.
11
, 3225
(2015
).59.
T.
Bereau
, R. A.
DiStasio
, Jr., A.
Tkatchenko
, and O. A.
von Lilienfeld
, J. Chem. Phys.
148
, 241706
(2018
).60.
H.
Muhli
, X.
Chen
, A. P.
Bartók
, P.
Hernández-León
, G.
Csányi
, T.
Ala-Nissila
, and M. A.
Caro
, Phys. Rev. B
104
, 054106
(2021
).61.
N. T. P.
Tu
, N.
Rezajooei
, E.
Johnson
, and C.
Rowley
, Digital Discovery
2
, 718
(2023
).62.
S. A.
Ghasemi
, A.
Hofstetter
, S.
Saha
, and S.
Goedecker
, Phys. Rev. B
92
, 045131
(2015
).63.
X.
Xie
, K. A.
Persson
, and D. W.
Small
, J. Chem. Theory Comput.
16
, 4256
(2020
).64.
T. W.
Ko
, J. A.
Finkler
, S.
Goedecker
, and J.
Behler
, Nat. Commun.
12
, 398
(2021
).65.
D. P.
Metcalf
, A.
Jiang
, S. A.
Spronk
, D. L.
Cheney
, and C. D.
Sherrill
, J. Chem. Inf. Model.
61
, 115
(2021
).66.
L.
Jacobson
, J.
Stevenson
, F.
Ramezanghorbani
, D.
Ghoreishi
, K.
Leswing
, E.
Harder
, and R.
Abel
, J. Chem. Theory Comput.
18
, 2354
(2022
).67.
A. K.
Rappe
and W. A.
Goddard
III, J. Phys. Chem.
95
, 3358
(1991
).68.
J.
Gilmer
, S. S.
Schoenholz
, P. F.
Riley
, O.
Vinyals
, and G. E.
Dahl
, in Proceedings of the 34th International Conference on Machine Learning
, Proceedings of Machine Learning Research Vol. 70
, edited by D.
Precup
and Y. W.
Teh
(PMLR
, 2017
), p. 1263
.69.
K. T.
Schütt
, F.
Arbabzadah
, S.
Chmiela
, K. R.
Müller
, and A.
Tkatchenko
, Nat. Commun.
8
, 13890
(2017
).70.
R.
Zubatyuk
, J. S.
Smith
, J.
Leszczynski
, and O.
Isayev
, Sci. Adv.
5
, eaav6490
(2019
).71.
K.
Schütt
, O.
Unke
, and M.
Gastegger
, in Proceedings of the 38th International Conference on Machine Learning
, Proceedings of Machine Learning Research Vol. 139
, edited by M.
Meila
and T.
Zhang
(PMLR
, 2021
), pp. 9377
–9388
.72.
J. S.
Smith
, B.
Nebgen
, N.
Lubbers
, O.
Isayev
, and A. E.
Roitberg
, J. Chem. Phys.
148
, 241733
(2018
).73.
C.
Schran
, J.
Behler
, and D.
Marx
, J. Chem. Theory Comput.
16
, 88
(2020
).74.
C.
Schran
, F. L.
Thiemann
, P.
Rowe
, E. A.
Müller
, O.
Marsalek
, and A.
Michaelides
, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A.
118
, e2110077118
(2021
).75.
J. B.
Witkoskie
and D. J.
Doren
, J. Chem. Theory Comput.
1
, 14
(2005
).76.
J. D.
Morrow
, J. L. A.
Gardner
, and V. L.
Deringer
, J. Chem. Phys.
158
, 121501
(2023
).77.
A. P.
Bartók
, R.
Kondor
, and G.
Csányi
, Phys. Rev. B
87
, 184115
(2013
).78.
A.
Sadeghi
, S. A.
Ghasemi
, B.
Schaefer
, S.
Mohr
, M. A.
Lill
, and S.
Goedecker
, J. Chem. Phys.
139
, 184118
(2013
).79.
S.
Jindal
, S.
Chiriki
, and S. S.
Bulusu
, J. Chem. Phys.
146
, 204301
(2017
).80.
A. S.
Christensen
, L. A.
Bratholm
, F. A.
Faber
, and O. A.
von Lilienfeld
, J. Chem. Phys.
152
, 044107
(2020
).81.
H.
Huo
and M.
Rupp
, Mach. Learn.: Sci. Technol.
3
, 045017
(2022
).82.
C. M.
Bishop
, Neural Networks for Pattern Recognition
(Oxford University Press
, 1996
).83.
84.
W.
McCulloch
and W.
Pitts
, Bull. Math. Biophys.
5
, 115
(1943
).85.
J.
Clark
, Scientific Applications of Neural Nets
(Springer
, 2014
), open Library ID: OL27997540M.86.
T.
Kohonen
, Neural Networks
1
, 3
(1988
).87.
K.
Hornik
, M.
Stinchcombe
, and H.
White
, Neural Networks
2
, 359
(1989
).88.
S. N.
Pozdnyakov
, M. J.
Willatt
, A. P.
Bartók
, C.
Ortner
, G.
Csányi
, and M.
Ceriotti
, Phys. Rev. Lett.
125
, 166001
(2020
).89.
S.
Yue
, M. C.
Muniz
, M. F. C.
Andrade
, L.
Zhang
, R.
Car
, and A. Z.
Panagiotopoulos
, J. Chem. Phys.
154
, 034111
(2021
).90.
P. P.
Ewald
, Ann. Phys.
369
, 253
(1921
).91.
T.
Morawietz
, V.
Sharma
, and J.
Behler
, J. Chem. Phys.
136
, 064103
(2012
).92.
J.
Daru
, H.
Forbert
, J.
Behler
, and D.
Marx
, Phys. Rev. Lett.
129
, 226001
(2022
).93.
M. S.
Chen
, J.
Lee
, H.-Z.
Ye
, T. C.
Berkelbach
, D. R.
Reichman
, and T. E.
Markland
, J. Chem. Theory Comput.
19
, 4510
(2023
).94.
N.
Artrith
and J.
Behler
, Phys. Rev. B
85
, 045439
(2012
).95.
B.
Huang
and O. A.
von Lilienfeld
, Nat. Chem.
12
, 945
(2020
).96.
H. E.
Sauceda
, S.
Chmiela
, I.
Poltavsky
, K.-R.
Müller
, and A.
Tkatchenko
, J. Chem. Phys.
150
, 114102
(2019
).97.
M.
Eckhoff
and J.
Behler
, J. Chem. Theory Comput.
15
, 3793
(2019
).98.
B.
Delley
, J. Comput. Chem.
17
, 1152
(1996
).99.
D. S.
Cerutti
and D. A.
Case
, J. Chem. Theory Comput.
6
, 443
(2010
).100.
M.
Eckhoff
, K. N.
Lausch
, P. E.
Blöchl
, and J.
Behler
, J. Chem. Phys.
153
, 164107
(2020
).101.
M.
Eckhoff
and J.
Behler
, npj Comput. Mater.
7
, 170
(2021
).102.
R.
Drautz
, Phys. Rev. B
102
, 024104
(2020
).103.
M. R. G.
Marques
, J.
Wolff
, C.
Steigemann
, and M. A. L.
Marques
, Phys. Chem. Chem. Phys.
21
, 6506
(2019
).104.
M.
Gastegger
, C.
Kauffmann
, J.
Behler
, and P.
Marquetand
, J. Chem. Phys.
144
, 194110
(2016
).105.
M.
Herbold
and J.
Behler
, Phys. Chem. Chem. Phys.
25
, 12979
(2023
).106.
A.
Laio
and M.
Parrinello
, Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A.
99
, 12562
(2002
).107.
D.
Shanavas Rasheeda
, A. M. S.
Daria
, B.
Schröder
, E.
Matyus
, and J.
Behler
, Phys. Chem. Chem. Phys.
24
, 29381
(2022
).108.
C.
Draxl
and M.
Scheffler
, MRS Bull.
43
, 676
(2018
).109.
L.
Talirz
, S.
Kumbhar
, E.
Passaro
, A. V.
Yakutovich
, V.
Granata
, F.
Gargiulo
, M.
Borelli
, M.
Uhrin
, S. P.
Huber
, S.
Zoupanos
, C. S.
Adorf
, C. W.
Andersen
, O.
Schütt
, C. A.
Pignedoli
, D.
Passerone
, J.
VandeVondele
, T. C.
Schulthess
, B.
Smit
, G.
Pizzi
, and N.
Marzari
, Sci. Data
7
, 299
(2020
).110.
See https://cppaw.org for CPPAW-Code; accessed 31 May
2023
.111.
M.
Sotoudeh
, S.
Rajpurohit
, P.
Blöchl
, D.
Mierwaldt
, J.
Norpoth
, V.
Roddatis
, S.
Mildner
, B.
Kressdorf
, B.
Ifland
, and C.
Jooss
, Phys. Rev. B
95
, 235150
(2017
).112.
M.
Eckhoff
, P. E.
Blöchl
, and J.
Behler
, Phys. Rev. B
101
, 205113
(2020
).113.
P. E.
Blöchl
, Phys. Rev. B
50
, 17953
(1994
).114.
S.
Grimme
, J.
Antony
, S.
Ehrlich
, and H.
Krieg
, J. Chem. Phys.
132
, 154104
(2010
).115.
M.
Eckhoff
and J.
Behler
, J. Chem. Phys.
155
, 244703
(2021
).116.
V. L.
Deringer
and G.
Csányi
, Phys. Rev. B
95
, 094203
(2017
).117.
M.
Herbold
and J.
Behler
, J. Chem. Phys.
156
, 114106
(2022
).118.
M.
Gastegger
, L.
Schwiedrzik
, M.
Bittermann
, F.
Berzsenyi
, and P.
Marquetand
, J. Chem. Phys.
148
, 241709
(2018
).119.
B.
Casier
, S.
Carniato
, T.
Miteva
, N.
Capron
, and N.
Sisourat
, J. Chem. Phys.
152
, 234103
(2020
).120.
G.
Imbalzano
, A.
Anelli
, D.
Giofre
, S.
Klees
, J.
Behler
, and M.
Ceriotti
, J. Chem. Phys.
148
, 241730
(2018
).121.
H.
Gassner
, M.
Probst
, A.
Lauenstein
, and K.
Hermansson
, J. Phys. Chem. A
102
, 4596
(1998
).122.
D.
Nguyen
and B.
Widrow
, Int. Jt. Conf. Neural Networks, Proc.
3
, 21
(1990
).123.
X.
Glorot
and Y.
Bengio
, in Proceedings of the Thirteenth International Conference on Artificial Intelligence and Statistics
, Proceedings of Machine Learning Research Vol. 9
, edited by Y. W.
Teh
and M.
Titterington
(PMLR
, Sardinia, Italy
, 2010
), pp. 249
–256
.124.
M.
Eckhoff
, F.
Schönewald
, M.
Risch
, C. A.
Volkert
, P. E.
Blöchl
, and J.
Behler
, Phys. Rev. B
102
, 174102
(2020
).125.
T. B.
Blank
and S. D.
Brown
, J. Chemom.
8
, 391
(1994
).126.
D. E.
Rumelhart
, G. E.
Hinton
, and R. J.
Williams
, Nature
323
, 533
(1986
).127.
B.
Pang
, E.
Nijkamp
, and Y. N.
Wu
, J. Educ. Behav. Stat.
45
, 227
(2020
).128.
A.
Paszke
, S.
Gross
, F.
Massa
, A.
Lerer
, J.
Bradbury
, G.
Chanan
, T.
Killeen
, Z.
Lin
, N.
Gimelshein
, L.
Antiga
, A.
Desmaison
, A.
Kopf
, E.
Yang
, Z.
DeVito
, M.
Raison
, A.
Tejani
, S.
Chilamkurthy
, B.
Steiner
, L.
Fang
, J.
Bai
, and S.
Chintala
, Advances in Neural Information Processing Systems
(Curran Associates, Inc.
, 2019
), Vol. 32
, p. 8024
.129.
R. E.
Kalman
, J. Basic Eng.
82
, 35
(1960
).130.
A.
Singraber
, T.
Morawietz
, J.
Behler
, and C.
Dellago
, J. Chem. Theory Comput.
15
, 3075
(2019
).131.
M. R.
Hestenes
and E.
Stiefel
, J. Res. Natl. Bur. Stand.
49
, 409
(1952
).132.
K.
Levenberg
, Q. Appl. Math.
2
, 164
(1944
).133.
Optimization For Machine Learning
, Neural Information Processing Series
, edited by S.
Sra
, S.
Nowozin
, and S. J.
Wright
(MIT Press
, Cambridge, MA
, 2012
).134.
135.
136.
137.
N.
Srivastava
, G.
Hinton
, A.
Krizhevsky
, I.
Sutskever
, and R.
Salakhutdinov
, J. Mach. Learn. Res.
15
, 1929
(2014
).138.
V.
Kapil
, J.
Behler
, and M.
Ceriotti
, J. Chem. Phys.
145
, 234103
(2016
).139.
P.
Rowe
, V. L.
Deringer
, P.
Gasparotto
, G.
Csányi
, and A.
Michaelides
, J. Chem. Phys.
153
, 034702
(2020
).140.
T. W.
Ko
, J. A.
Finkler
, S.
Goedecker
, and J.
Behler
, J. Chem. Theory Comput.
19
, 3567
(2023
).141.
H. S.
Seung
, M.
Opper
, and H.
Sompolinsky
, in Proceedings of the Fifth Annual Workshop on Computational Learning Theory
(Association for Computing Machinery
, 1992
), p. 287
.142.
S. L.
Frederiksen
, K. W.
Jacobsen
, K. S.
Brown
, and J. P.
Sethna
, Phys. Rev. Lett.
93
, 165501
(2004
).143.
E. V.
Podryabinkin
and A. V.
Shapeev
, Comput. Mater. Sci.
140
, 171
(2017
).144.
L.
Zhang
, D.-Y.
Lin
, H.
Wang
, R.
Car
, and W.
E
, Phys. Rev. Mater.
3
, 023804
(2019
).145.
C.
Schran
, K.
Brezina
, and O.
Marsalek
, J. Chem. Phys.
153
, 104105
(2020
).146.
R.
Jinnouchi
, F.
Karsai
, and G.
Kresse
, Phys. Rev. B
100
, 014105
(2019
).147.
A. P.
Bartók
, S.
De
, C.
Poelking
, N.
Bernstein
, J. R.
Kermode
, G.
Csányi
, and M.
Ceriotti
, Sci. Adv.
3
, e1701816
(2017
).148.
R. M.
Balabin
and E. I.
Lomakina
, J. Chem. Phys.
131
, 074104
(2009
).149.
A. P.
Bartók
, M. J.
Gillan
, F. R.
Manby
, and G.
Csányi
, Phys. Rev. B
88
, 054104
(2013
).150.
J.
Wu
and X.
Xu
, J. Chem. Phys.
127
, 214105
(2007
).151.
R.
Ramakrishnan
, P. O.
Dral
, M.
Rupp
, and O. A.
von Lilienfeld
, J. Chem. Theory Comput.
11
, 2087
(2015
).152.
J. S.
Smith
, B. T.
Nebgen
, R.
Zubatyuk
, N.
Lubbers
, C.
Devereux
, K.
Barros
, S.
Tretiak
, O.
Isayev
, and A. E.
Roitberg
, Nat. Commun.
10
, 2903
(2019
).153.
F. L.
Hirshfeld
, Theor. Chim. Acta
44
, 129
(1977
).154.
R. F. W.
Bader
, Acc. Chem. Res.
18
, 9
(1985
).155.
T. A.
Manz
and N. G.
Limas
, RSC Adv.
6
, 47771
(2016
).© 2023 Author(s). Published under an exclusive license by AIP Publishing.
2023
Author(s)
You do not currently have access to this content.
