In the near future, material and drug design may be aided by quantum computer assisted simulations. These have the potential to target chemical systems intractable by the most powerful classical computers. However, the resources offered by contemporary quantum computers are still limited, restricting the simulations to very simple molecules. In order to rapidly scale up to more interesting molecular systems, we propose the embedding of the quantum electronic structure calculation into a classically computed environment obtained at the Hartree–Fock (HF) or density functional theory (DFT) level of theory. This result is achieved by constructing an effective Hamiltonian that incorporates a mean field potential describing the action of the inactive electrons on a selected Active Space (AS). The ground state of the AS Hamiltonian is then determined by means of the variational quantum eigensolver algorithm. We show that with the proposed HF and DFT embedding schemes, we can obtain significant energy corrections to the reference HF and DFT calculations for a number of simple molecules in their strongly correlated limit (the dissociation regime) as well as for systems of the size of the oxirane molecule.

1.
J. D.
Whitfield
,
J.
Biamonte
, and
A.
Aspuru-Guzik
,
Mol. Phys.
109
,
735
(
2011
).
2.
T.
Helgaker
,
S.
Coriani
,
P.
Jørgensen
,
K.
Kristensen
,
J.
Olsen
, and
K.
Ruud
,
Chem. Rev.
112
,
543
(
2012
).
3.
K. D.
Vogiatzis
,
M. V.
Polynski
,
J. K.
Kirkland
,
J.
Townsend
,
A.
Hashemi
,
C.
Liu
, and
E. A.
Pidko
,
Chem. Rev.
119
,
2453
(
2018
).
4.
M.
Reiher
,
N.
Wiebe
,
K. M.
Svore
,
D.
Wecker
, and
M.
Troyer
,
Proc. Natl. Acad. Sci. U. S. A.
114
,
7555
(
2017
).
5.
M.
Boero
,
M.
Parrinello
, and
K.
Terakura
,
J. Am. Chem. Soc.
120
,
2746
(
1998
).
6.
A.
Aspuru-Guzik
,
R.
Lindh
, and
M.
Reiher
,
ACS Cent. Sci.
4
,
144
(
2018
).
7.
Y.
Cao
,
J.
Romero
, and
A.
Aspuru-Guzik
,
IBM J. Res. Dev.
62
(
6
),
1
(
2018
).
8.
J.-M.
Reiner
,
F.
Wilhelm-Mauch
,
G.
Schön
, and
M.
Marthaler
,
Quantum Sci. Technol.
4
,
035005
(
2019
).
9.
I. O.
Sokolov
,
P. K.
Barkoutsos
,
P. J.
Ollitrault
,
D.
Greenberg
,
J.
Rice
,
M.
Pistoia
, and
I.
Tavernelli
,
J. Chem. Phys.
152
,
124107
(
2020
).
10.
C.
Kokail
,
C.
Maier
,
R.
van Bijnen
,
T.
Brydges
,
M. K.
Joshi
,
P.
Jurcevic
,
C. A.
Muschik
,
P.
Silvi
,
R.
Blatt
,
C. F.
Roos
, and
P.
Zoller
,
Nature
569
,
355
(
2019
).
11.
S. V.
Mathis
,
G.
Mazzola
, and
I.
Tavernelli
, “
Toward scalable simulations of lattice gauge theories on quantum computers
,”
Phys. Rev. D
102
,
094501
(
2020
).
12.
R.
Babbush
,
N.
Wiebe
,
J.
McClean
,
J.
McClain
,
H.
Neven
, and
G. K.-L.
Chan
,
Phys. Rev. X
8
,
011044
(
2018
).
13.
See https://quantum-computing.ibm.com/ for IBM, IBM Quantum Experience; accessed 16 March 2020.
14.
D.
Wecker
,
M. B.
Hastings
, and
M.
Troyer
,
Phys. Rev. A
92
,
042303
(
2015
).
15.
A.
Peruzzo
,
J.
McClean
,
P.
Shadbolt
,
M.-H.
Yung
,
X.-Q.
Zhou
,
P. J.
Love
,
A.
Aspuru-Guzik
, and
J. L.
O’Brien
,
Nat. Commun.
5
,
4213
(
2014
).
16.
J.
Čížek
,
J. Chem. Phys.
45
,
4256
(
1966
).
17.
H. G.
Kümmel
, “
A biography of the coupled cluster method
,” in
Recent Progress in Many-Body Theories—Proceedings of the 11th International Conference
, edited by
R. F.
Bishop
,
T.
Brandes
,
K. A.
Gernoth
,
N. R.
Walet
, and
Y.
Xian
(
World Scientific Publishing
,
Singapore
,
2002
), pp.
334
348
.
18.
R. J.
Bartlett
and
M.
Musiał
,
Rev. Mod. Phys.
79
,
291
(
2007
).
19.
P. J. J.
O’Malley
,
R.
Babbush
,
I. D.
Kivlichan
,
J.
Romero
,
J.
McClean
,
R.
Barends
,
J.
Kelly
,
P.
Roushan
,
A.
Tranter
,
N.
Ding
,
B.
Campbell
,
Y.
Chen
,
Z.
Chen
,
B.
Chiaro
,
A.
Dunsworth
,
A. G.
Fowler
,
E.
Jeffrey
,
E.
Lucero
,
A.
Megrant
,
J. Y.
Mutus
,
M.
Neeley
,
C.
Neill
,
C.
Quintana
,
D.
Sank
,
A.
Vainsencher
,
J.
Wenner
,
T. C.
White
,
P. V.
Coveney
,
P. J.
Love
,
H.
Neven
,
A.
Aspuru-Guzik
, and
J. M.
Martinis
,
Phys. Rev. X
6
,
031007
(
2016
).
20.
J.
Romero
,
R.
Babbush
,
J. R.
McClean
,
C.
Hempel
,
P. J.
Love
, and
A.
Aspuru-Guzik
,
Quantum Sci. Technol.
4
,
014008
(
2018
).
21.
P. K.
Barkoutsos
,
J. F.
Gonthier
,
I.
Sokolov
,
N.
Moll
,
G.
Salis
,
A.
Fuhrer
,
M.
Ganzhorn
,
D. J.
Egger
,
M.
Troyer
,
A.
Mezzacapo
,
S.
Filipp
, and
I.
Tavernelli
,
Phys. Rev. A
98
,
022322
(
2018
).
22.
N.
Moll
,
P.
Barkoutsos
,
L. S.
Bishop
,
J. M.
Chow
,
A.
Cross
,
D. J.
Egger
,
S.
Filipp
,
A.
Fuhrer
,
J. M.
Gambetta
,
M.
Ganzhorn
,
A.
Kandala
,
A.
Mezzacapo
,
P.
Müller
,
W.
Riess
,
G.
Salis
,
J.
Smolin
,
I.
Tavernelli
, and
K.
Temme
,
Quantum Sci. Technol.
3
,
030503
(
2018
).
23.
M.
Kühn
,
S.
Zanker
,
P.
Deglmann
,
M.
Marthaler
, and
H.
Weiss
,
J. Chem. Theory Comput.
15
,
4764
(
2019
).
24.
N. P.
Bauman
,
E. J.
Bylaska
,
S.
Krishnamoorthy
,
G. H.
Low
,
N.
Wiebe
,
C. E.
Granade
,
M.
Roetteler
,
M.
Troyer
, and
K.
Kowalski
,
J. Chem. Phys.
151
,
014107
(
2019
).
25.
F. A.
Evangelista
,
G. K.-L.
Chan
, and
G. E.
Scuseria
,
J. Chem. Phys.
151
,
244112
(
2019
).
26.
W.
Mizukami
,
K.
Mitarai
,
Y. O.
Nakagawa
,
T.
Yamamoto
,
T.
Yan
, and
Y-y.
Ohnishi
, “
Orbital optimized unitary coupled cluster theory for quantum computer
,”
Phys. Rev. Research
2
,
033421
(
2019
).
27.
A. F.
Izmaylov
,
M.
Díaz-Tinoco
, and
R. A.
Lang
,
Phys. Chem. Chem. Phys.
22
,
12980
(
2020
).
28.
A.
Kandala
,
A.
Mezzacapo
,
K.
Temme
,
M.
Takita
,
M.
Brink
,
J. M.
Chow
, and
J. M.
Gambetta
,
Nature
549
,
242
(
2017
).
29.
M.
Ganzhorn
,
D.
Egger
,
P.
Barkoutsos
,
P.
Ollitrault
,
G.
Salis
,
N.
Moll
,
M.
Roth
,
A.
Fuhrer
,
P.
Mueller
,
S.
Woerner
,
I.
Tavernelli
, and
S.
Filipp
,
Phys. Rev. Appl.
11
,
044092
(
2019
).
30.
I. G.
Ryabinkin
,
T.-C.
Yen
,
S. N.
Genin
, and
A. F.
Izmaylov
,
J. Chem. Theory Comput.
14
,
6317
(
2018
).
31.
I. G.
Ryabinkin
,
R. A.
Lang
,
S. N.
Genin
, and
A. F.
Izmaylov
,
J. Chem. Theory Comput.
16
,
1055
(
2020
).
32.
C.
Hempel
,
C.
Maier
,
J.
Romero
,
J.
McClean
,
T.
Monz
,
H.
Shen
,
P.
Jurcevic
,
B. P.
Lanyon
,
P.
Love
,
R.
Babbush
,
A.
Aspuru-Guzik
,
R.
Blatt
, and
C. F.
Roos
,
Phys. Rev. X
8
,
031022
(
2018
).
33.
R.
Sagastizabal
,
X.
Bonet-Monroig
,
M.
Singh
,
M. A.
Rol
,
C. C.
Bultink
,
X.
Fu
,
C. H.
Price
,
V. P.
Ostroukh
,
N.
Muthusubramanian
,
A.
Bruno
,
M.
Beekman
,
N.
Haider
,
T. E.
O’Brien
, and
L.
DiCarlo
,
Phys. Rev. A
100
,
010302
(
2019
).
34.
F.
Arute
,
K.
Arya
,
R.
Babbush
,
D.
Bacon
,
J. C.
Bardin
,
R.
Barends
,
S.
Boixo
,
M.
Broughton
,
B. B.
Buckley
,
D. A.
Buell
,
B.
Burkett
,
N.
Bushnell
,
Y.
Chen
,
Z.
Chen
,
B.
Chiaro
,
R.
Collins
,
W.
Courtney
,
S.
Demura
,
A.
Dunsworth
,
D.
Eppens
,
E.
Farhi
,
A.
Fowler
,
B.
Foxen
,
C.
Gidney
,
M.
Giustina
,
R.
Graff
,
S.
Habegger
,
M. P.
Harrigan
,
A.
Ho
,
S.
Hong
,
T.
Huang
,
W. J.
Huggins
,
L.
Ioffe
,
S. V.
Isakov
,
E.
Jeffrey
,
Z.
Jiang
,
C.
Jones
,
D.
Kafri
,
K.
Kechedzhi
,
J.
Kelly
,
S.
Kim
,
P. V.
Klimov
,
A.
Korotkov
,
F.
Kostritsa
,
D.
Landhuis
,
P.
Laptev
,
M.
Lindmark
,
E.
Lucero
,
O.
Martin
,
J. M.
Martinis
,
J. R.
McClean
,
M.
McEwen
,
A.
Megrant
,
X.
Mi
,
M.
Mohseni
,
W.
Mruczkiewicz
,
J.
Mutus
,
O.
Naaman
,
M.
Neeley
,
C.
Neill
,
H.
Neven
,
M. Y.
Niu
,
T. E.
O’Brien
,
E.
Ostby
,
A.
Petukhov
,
H.
Putterman
,
C.
Quintana
,
P.
Roushan
,
N. C.
Rubin
,
D.
Sank
,
K. J.
Satzinger
,
V.
Smelyanskiy
,
D.
Strain
,
K. J.
Sung
,
M.
Szalay
,
T. Y.
Takeshita
,
A.
Vainsencher
,
T.
White
,
N.
Wiebe
,
Z. J.
Yao
,
P.
Yeh
, and
A.
Zalcman
, “
Hartree-Fock on a superconducting qubit quantum computer
,”
Science
369
,
1084
(
2020
).
35.
P. J.
Ollitrault
,
A.
Kandala
,
C.-F.
Chen
,
P. K.
Barkoutsos
,
A.
Mezzacapo
,
M.
Pistoia
,
S.
Sheldon
,
S.
Woerner
,
J. M.
Gambetta
, and
I.
Tavernelli
,
Phys. Rev. Res.
2
,
043140
(
2020
).
36.
O.
Higgott
,
D.
Wang
, and
S.
Brierley
,
Quantum
3
,
156
(
2019
).
37.
R. M.
Parrish
,
E. G.
Hohenstein
,
P. L.
McMahon
, and
T. J.
Martínez
,
Phys. Rev. Lett.
122
,
230401
(
2019
).
38.
K. M.
Nakanishi
,
K.
Mitarai
, and
K.
Fujii
,
Phys. Rev. Res.
1
,
033062
(
2019
).
39.
I. G.
Ryabinkin
,
S. N.
Genin
, and
A. F.
Izmaylov
,
J. Chem. Theory Comput.
15
,
249
(
2018
).
40.
J. R.
McClean
,
M. E.
Kimchi-Schwartz
,
J.
Carter
, and
W. A.
de Jong
,
Phys. Rev. A
95
,
042308
(
2017
).
41.
N. H.
Stair
,
R.
Huang
, and
F. A.
Evangelista
,
J. Chem. Theory Comput.
16
,
2236
(
2020
).
42.
R.
Santagati
,
J.
Wang
,
A. A.
Gentile
,
S.
Paesani
,
N.
Wiebe
,
J. R.
McClean
,
S.
Morley-Short
,
P. J.
Shadbolt
,
D.
Bonneau
,
J. W.
Silverstone
 et al,
Sci. Adv.
4
,
eaap9646
(
2018
).
43.
T.
Jones
,
S.
Endo
,
S.
McArdle
,
X.
Yuan
, and
S. C.
Benjamin
,
Phys. Rev. A
99
,
062304
(
2019
).
44.
J.
Tilly
,
G.
Jones
,
H.
Chen
,
L.
Wossnig
, and
E.
Grant
, “
Computation of molecular excited states on IBMQ using a discriminative variational quantum eigensolver
,”
Phys. Rev. A
102
,
062425
(
2020
).
45.
B. O.
Roos
,
P. R.
Taylor
, and
P. E. M.
Sigbahn
,
Chem. Phys.
48
,
157
(
1980
).
46.
T.
Helgaker
,
P.
Jèrgensen
, and
J.
Olsen
,
Molecular Electronic-Structure Theory
(
John Wiley & Sons, Ltd.
,
2000
).
47.
B.
Bauer
,
D.
Wecker
,
A. J.
Millis
,
M. B.
Hastings
, and
M.
Troyer
,
Phys. Rev. X
6
,
031045
(
2016
).
48.
N. C.
Rubin
, “
A hybrid classical/quantum approach for large-scale studies of quantum systems with density matrix embedding theory
,” arXiv:1610.06910v2 (
2016
).
49.
A.
Georges
and
G.
Kotliar
,
Phys. Rev. B
45
,
6479
(
1992
).
50.
G.
Knizia
and
G. K.-L.
Chan
,
Phys. Rev. Lett.
109
,
186404
(
2012
).
51.
X.
Wu
,
M.
Lindsey
,
T.
Zhou
,
Y.
Tong
, and
L.
Lin
, “
Enhancing robustness and efficiency of density matrix embedding theory via semidefinite programming and local correlation potential fitting
,”
Phys. Rev. B
102
,
085123
(
2020
).
52.
H.
Ma
,
M.
Govoni
, and
G.
Galli
,
npj Comput. Mater.
6
,
85
(
2020
).
53.
A.
Savin
and
H.-J.
Flad
,
Int. J. Quantum Chem.
56
,
327
(
1995
).
54.
T.
Takeshita
,
N. C.
Rubin
,
Z.
Jiang
,
E.
Lee
,
R.
Babbush
, and
J. R.
McClean
,
Phys. Rev. X
10
,
011004
(
2020
).
55.
M.
Urbanek
,
D.
Camps
,
R. V.
Beeumen
, and
W. A.
de Jong
, “
Chemistry on quantum computers with virtual quantum subspace expansion
,”
J. Chem. Theory Comput.
16
,
5425
5431
(
2020
).
56.
G.
Aleksandrowicz
,
T.
Alexander
,
P.
Barkoutsos
,
L.
Bello
,
Y.
Ben-Haim
,
D.
Bucher
,
F. J.
Cabrera-Hernandez
,
J.
Carballo-Franquis
,
A.
Chen
,
C.-F.
Chen
,
J. M.
Chow
,
A. D.
Corcoles-Gonzales
,
A. J.
Cross
,
A.
Cross
,
J.
Cruz-Benito
,
C.
Culver
,
S. D. L. P.
Gonzalez
,
E. D. L.
Torre
,
D.
Ding
,
E.
Dumitrescu
,
I.
Duran
,
P.
Eendebak
,
M.
Everitt
,
I. F.
Sertage
,
A.
Frisch
,
A.
Fuhrer
,
J.
Gacon
,
J.
Gambetta
,
B. G.
Gago
,
J.
Gomez-Mosquera
,
D.
Greenberg
,
I.
Hamamura
,
V.
Havlicek
,
J.
Hellmers
,
L.
Herok
,
H.
Horii
,
S.
Hu
,
T.
Imamichi
,
T.
Itoko
,
A.
Javadi-Abhari
,
N.
Kanazawa
,
A.
Karazeev
,
K.
Krsulich
,
P.
Liu
,
Y.
Luh
,
Y.
Maeng
,
M.
Marques
,
F. J.
Martin-Fernandez
,
D. T.
McClure
,
D.
McKay
,
S.
Meesala
,
A.
Mezzacapo
,
N.
Moll
,
D. M.
Rodriguez
,
G.
Nannicini
,
P.
Nation
,
P. J.
Ollitrault
,
L. J.
O’Riordan
,
H.
Paik
,
J.
Perez
,
A.
Phan
,
M.
Pistoia
,
V.
Prutyanov
,
M.
Reuter
,
J.
Rice
,
A. R.
Davila
,
M.
Rossmannek
,
R. H. P.
Rudy
,
M.
Ryu
,
N.
Sathaye
,
C.
Schnabel
,
E.
Schoute
,
K.
Setia
,
Y.
Shi
,
A.
Silva
,
Y.
Siraichi
,
S.
Sivarajah
,
J. A.
Smolin
,
M.
Soeken
,
I.
Sokolov
,
H.
Takahashi
,
I.
Tavernelli
,
C.
Taylor
,
P.
Taylour
,
K.
Trabing
,
M.
Treinish
,
W.
Turner
,
D.
Vogt-Lee
,
C.
Vuillot
,
J. A.
Wildstrom
,
J.
Wilson
,
E.
Winston
,
C.
Wood
,
S.
Wood
,
S.
Wörner
,
I. Y.
Akhalwaya
, and
C.
Zoufal
(
2019
). “
Qiskit: An open-source framework for quantum computing
,” Zenodo. .
57.
S. B.
Bravyi
and
A. Y.
Kitaev
,
Ann. Phys.
298
,
210
(
2002
).
58.
E. D.
Hedegård
,
S.
Knecht
,
J. S.
Kielberg
,
H. J. A.
Jensen
, and
M.
Reiher
,
J. Chem. Phys.
142
,
224108
(
2015
).
59.
See https://github.com/Qiskit/qiskit-nature/ for Qiskit, Qiskit Nature; accessed 29 January 2021.
60.
Q.
Sun
,
J.
Yang
, and
G. K.-L.
Chan
,
Chem. Phys. Lett.
683
,
291
(
2017
).
61.
S.
Bravyi
,
J. M.
Gambetta
,
A.
Mezzacapo
, and
K.
Temme
, “
Tapering off qubits to simulate fermionic Hamiltonians
,” arXiv:1701.08213v1 (
2017
).
62.
J. L.
Morales
and
J.
Nocedal
,
ACM Trans. Math. Software
38
,
1
(
2011
).
63.
J.
Toulouse
,
A.
Savin
, and
H.-J.
Flad
,
Int. J. Quantum Chem.
100
,
1047
(
2004
).
64.
S.
Paziani
,
S.
Moroni
,
P.
Gori-Giorgi
, and
G. B.
Bachelet
,
Phys. Rev. B
73
,
155111
(
2006
).
65.
U.
Ekström
,
L.
Visscher
,
R.
Bast
,
A. J.
Thorvaldsen
, and
K.
Ruud
,
J. Chem. Theory Comput.
6
,
1971
(
2010
).
66.
J.
Heyd
,
G. E.
Scuseria
, and
M.
Ernzerhof
,
J. Chem. Phys.
118
,
8207
(
2003
).
67.
E.
Fromager
,
J.
Toulouse
, and
H. J. A.
Jensen
,
J. Chem. Phys.
126
,
074111
(
2007
).
68.
W. J.
Hehre
,
R. F.
Stewart
, and
J. A.
Pople
,
J. Chem. Phys.
51
,
2657
(
1969
).
69.
P. C.
Hariharan
and
J. A.
Pople
,
Theor. Chim. Acta
28
,
213
(
1973
).
70.
T. H.
Dunning
,
J. Chem. Phys.
90
,
1007
(
1989
).
71.
V.
Veryazov
,
P. Å.
Malmqvist
, and
B. O.
Roos
,
Int. J. Quantum Chem.
111
,
3329
(
2011
).
72.
C. J.
Stein
and
M.
Reiher
,
J. Chem. Theory Comput.
12
,
1760
(
2016
).
73.
C. J.
Stein
and
M.
Reiher
,
J. Comput. Chem.
40
,
2216
(
2019
).
74.
F. M.
Faulstich
,
M.
Máté
,
A.
Laestadius
,
M. A.
Csirik
,
L.
Veis
,
A.
Antalik
,
J.
Brabec
,
R.
Schneider
,
J.
Pittner
,
S.
Kvaal
, and
Ö.
Legeza
,
J. Chem. Theory Comput.
15
,
2206
(
2019
).
75.
E. R.
Sayfutyarova
,
Q.
Sun
,
G. K.-L.
Chan
, and
G.
Knizia
,
J. Chem. Theory Comput.
13
,
4063
(
2017
).
76.
X.
Li
and
J.
Paldus
,
J. Chem. Phys.
103
,
1024
(
1995
).

Supplementary Material

You do not currently have access to this content.