A new Lattice Boltzmann (LB) approach is introduced to solve for the block copolymer propagator in polymer field theory. This method bridges two desired properties from different numerical techniques, namely: (i) it is robust and stable as the pseudo-spectral method and (ii) it is flexible and allows for grid refinement and arbitrary boundary conditions. While the LB method is not as accurate as the pseudo-spectral method, full self-consistent field theoretic simulations of block copolymers on graphoepitaxial templates yield essentially indistinguishable results from pseudo-spectral calculations. Furthermore, we were able to achieve speedups of ∼100× compared to single CPU core implementations by utilizing graphics processing units. We expect this method to be very useful in multi-scale studies where small length scale details have to be resolved, such as in strongly segregating block copolymer blends or nanoparticle-polymer interfaces.
REFERENCES
1.
T.
Thurn-Albrecht
, J.
Schotter
, G. A.
Kastle
, N.
Emley
, T.
Shibauchi
, L.
Krusin-Elbaum
, K.
Guarini
, C. T.
Black
, M. T.
Tuominen
, and T. P.
Russell
, Science
290
, 2126
(2000
).2.
S. O.
Kim
, H. H.
Solak
, M. P.
Stoykovich
, N. J.
Ferrier
, J. J.
de Pablo
, and P. F.
Nealey
, Nature (London)
424
, 411
(2003
).3.
J. Y.
Cheng
, C. A.
Ross
, H. I.
Smith
, and E. L.
Thomas
, Adv. Mater.
18
, 2505
(2006
).4.
J. Y.
Cheng
, A. M.
Mayes
, and C. A.
Ross
, Nature Mater.
3
, 823
(2004
).5.
J. Y.
Cheng
, C. A.
Ross
, E. L.
Thomas
, H. I.
Smith
, and G. J.
Vancso
, Appl. Phys. Lett.
81
, 3657
(2002
).6.
C.
Tang
, E. M.
Lennon
, G. H.
Fredrickson
, E. J.
Kramer
, and C. J.
Hawker
, Science
322
, 429
(2008
).7.
V. P.
Chuang
, W.
Jung
, C. A.
Ross
, J. Y.
Cheng
, O.-H.
Park
, and H.-C.
Kim
, J. Appl. Phys.
103
, 074307
(2008
).8.
K.
Thorkelsson
, A. J.
Mastroianni
, P.
Ercius
, and T.
Xu
, Nano Lett.
12
, 498
(2012
).9.
J.
Kao
, P.
Bai
, V. P.
Chuang
, Z.
Jiang
, P.
Ercius
, and T.
Xu
, Nano Lett.
12
, 2610
(2012
).10.
N.
Koneripalli
, F. S.
Bates
, and G. H.
Fredrickson
, Phys. Rev. Lett.
81
, 1861
(1998
).11.
Y.
Wu
, G.
Cheng
, K.
Katsov
, S. W.
Sides
, J.
Wang
, J.
Tang
, G. H.
Fredrickson
, M.
Moskovits
, and G. D.
Stucky
, Nature Mater.
3
, 816
(2004
).12.
J. K. W.
Yang
, Y. S.
Jung
, J.-B.
Chang
, R. A.
Mickiewicz
, A.
Alexander-Katz
, C. A.
Ross
, and K. K.
Berggren
, Nat. Nanotechnol.
5
, 256
(2010
).13.
R. A.
Mickiewicz
, J. K. W.
Yang
, A. F.
Hannon
, Y. S.
Jung
, A.
Alexander-Katz
, K. K.
Berggren
, and C. A.
Ross
, Macromolecules
43
, 8290
(2010
).14.
A.
Tavakkoli K. G.
, K. W.
Gotrik
, A. F.
Hannon
, A.
Alexander-Katz
, C. A.
Ross
, and K. K.
Berggren
, Science
336
, 1294
(2012
).15.
A.
Tavakkoli K. G.
, A. F.
Hannon
, K. W.
Gotrik
, A.
Alexander-Katz
, C. A.
Ross
, and K. K.
Berggren
, Adv. Mater.
24
, 4249
(2012
).16.
K. Ch.
Daoulas
, M.
Muller
, J. J.
de Pablo
, P. F.
Nealey
, and G. D.
Smith
, Soft Matter
2
, 573
(2006
).17.
F. A.
Detcheverry
, D. Q.
Pike
, P. F.
Nealey
, M.
Meuller
, and J. J.
de Pablo
, Phys. Rev. Lett.
102
, 197801
(2009
).18.
D. Q.
Pike
, F. A.
Detcheverry
, M.
Meuller
, and J. J.
de Pablo
, J. Chem. Phys.
131
, 084903
(2009
).19.
F. A.
Detcheverry
, D. Q.
Pike
, U.
Nagpal
, and J. J.
de Pablo
, Soft Matter
5
, 4858
(2009
).20.
J. G. E. M.
Fraaije
, J. Chem. Phys.
99
, 9202
(1993
).21.
J. G. E. M.
Fraaije
, B. A. C.
van Vlimmeren
, N. M.
Maurits
, M.
Postma
, O. A.
Evers
, C.
Hoffmann
, P.
Altevogt
, and G.
Goldbeck-Wood
, J. Chem. Phys.
106
, 4260
(1997
).22.
F.
Drolet
and G. H.
Fredrickson
, Phys. Rev. Lett.
83
, 4317
(1999
).23.
G. H.
Fredrickson
, V.
Ganesan
, and F.
Drolet
, Macromolecules
35
, 16
(2002
).24.
K. O.
Rasmussen
and G.
Kalosakas
, J. Polym. Sci., Part B: Polym. Phys.
40
, 1777
(2002
).25.
S. W.
Sides
and G. H.
Fredrickson
, Polymer
44
, 5859
(2003
).26.
T. L.
Chantawansri
, S. M.
Hur
, C. J.
Garcia-Cervera
, H. D.
Ceniceros
, and G. H.
Fredrickson
, J. Chem. Phys.
134
, 244905
(2011
).27.
H. D.
Ceniceros
and G. H.
Fredrickson
, SIAM Multiscale Model. Simul.
2
, 452
(2004
).28.
E. M.
Lennon
, G. O.
Mohler
, H. D.
Ceniceros
, C. J.
Garcia-Cervera
, and G. H.
Fredrickson
, SIAM Multiscale Model. Simul.
6
, 1347
(2008
).29.
V.
Ganesan
and G. H.
Fredrickson
, Europhys. Lett.
55
, 814
(2001
).30.
K. W.
Morton
and M. J.
Baines
, Numerical Methods for Fluid Dynamics II
(Clarendon
, 1986
).31.
A.
Alexander-Katz
, A. G.
Moreira
, and G. H.
Fredrickson
, J. Chem. Phys.
118
, 9030
(2003
).32.
S.-M.
Hur
, C. J.
Garcia-Cervera
, and G. H.
Fredrickson
, Macromolecules
45
, 2905
(2012
).33.
F. J.
Higuera
, S.
Succi
, and R.
Benzi
, Europhys. Lett.
9
, 345
(1989
).34.
F. J.
Higuera
and J.
Jimenez
, Europhys. Lett.
9
, 663
(1989
).35.
M.
Briscolini
, P.
Santangelo
, S.
Succi
, and R.
Benzi
, Phys. Rev. E
50
, R1745
(1994
).36.
O.
Filippova
and D.
Hanel
, J. Comput. Phys.
147
, 219
(1998
).37.
C.-L.
Lin
and Y. G.
Lai
, Phys. Rev. E
62
, 2219
(2000
).38.
A.
Dupuis
and B.
Chopard
, Phys. Rev. E
67
, 066707
(2003
).39.
D.
Alemani
, B.
Chopard
, J.
Galceran
, and J.
Buffle
, Phys. Chem. Chem. Phys.
8
, 4119
(2006
).40.
M.
Stiebler
, J.
Tolke
, and M.
Krafczyk
, Comput. Math. Appl.
55
, 1576
(2008
).41.
R. G. M.
van der Sman
and M. H.
Ernst
, J. Comput. Phys.
160
, 766
(2000
).42.
H. J.
Limbach
, A.
Arnold
, B. A.
Mann
, and C.
Holm
, Comput. Phys. Commun.
174
, 704
(2006
).43.
W.
Li
, X. M.
Wei
, and A.
Kaufman
, Visual Comput.
19
, 444
(2003
).44.
M.
Bernaschi
, S.
Melchionna
, S.
Succi
, M.
Fyta
, E.
Kaxiras
, and J. K.
Sircar
, Comput. Phys. Commun.
180
, 1495
(2009
).45.
M.
Bernaschi
, M.
Fatica
, S.
Melchionna
, S.
Succi
, and E.
Kaxiras
, Concurrency Comput.: Pract. Exper.
22
, 1
(2010
).46.
R.
Benzi
, S.
Succi
, and M.
Vergassola
, Phys. Rep.
222
, 145
(1992
).47.
S.
Chen
and G. D.
Doolen
, Annu. Rev. Fluid Mech.
30
, 329
(1998
).48.
S.
Succi
, E.
Foti
, and F.
Higuera
, Europhys. Lett.
10
, 433
(1989
).49.
Y.
Qian
, D.
d'Humieres
, and P.
Lallemand
, Europhys. Lett.
17
, 479
(1992
).50.
S. Ponce
Dawson
, S.
Chen
, and G. D.
Doolen
, J. Chem. Phys.
98
, 1514
(1993
).51.
S. G.
Ayodele
, F.
Varnik
, and D.
Raabe
, Phys. Rev. E
83
, 016702
(2011
).52.
J.
Cerda
, C.
Montoliu
, and R. J.
Colom
, Math. Comput. Modell.
57
, 1648
(2013
).53.
A.
Alexander-Katz
and G. H.
Fredrickson
, Macromolecules
40
, 4075
(2007
).54.
G. H.
Fredrickson
, The Equilibrium Theory of Inhomogeneous Polymers
(Oxford University Press
, England
, 2006
).55.
M. W.
Matsen
and M.
Schick
, Phys. Rev. Lett.
72
, 2660
(1994
).56.
D.
Duechs
, V.
Ganesan
, and G. H.
Fredrickson
, Macromolecules
36
, 9237
(2003
).57.
S.
Succi
, The Lattice-Boltzmann Equation: For Fluid Dynamics and Beyond
(Clarendon
, Oxford
, 2001
).58.
59.
S. P.
Thampi
, S.
Ansumali
, R.
Adhikari
, and S.
Succi
, J. Comput. Phys.
234
, 1
(2013
);e-print arXiv:1202.3299.
60.
R.
Rubinstein
and L.-S.
Lo
, Phys. Rev. E
77
, 036709
(2008
).61.
F. S.
Bates
and G. H.
Fredrickson
, Phys. Today
52
, 32
(1999
).62.
63.
S. W.
Sides
, B. J.
Kim
, E. J.
Kramer
, and G. H.
Fredrickson
, Phys. Rev. Lett.
96
, 250601
(2006
).64.
A. W.
Bosse
, C. J.
Garcia-Cervera
, and G. H.
Fredrickson
, Macromolecules
40
, 9570
(2007
).65.
I.
Bita
, J. K. W.
Yang
, Y. S.
Jung
, C. A.
Ross
, E. L.
Thomas
, and K. K.
Berggren
, Science
321
, 939
(2008
).66.
J. Y.
Cheng
, C. T.
Rettner
, D. P.
Sanders
, H. C.
Kim
, and W. D.
Hinsberg
, Adv. Mater.
20
, 3155
(2008
).67.
R.
Ruiz
, H.
Kang
, F. A.
Detcheverry
, E.
Dobisz
, D. S.
Kercher
, T. R.
Albrecht
, J. J.
De Pablo
, and P. F.
Nealey
, Science
321
, 936
(2008
).68.
S.
Park
, D. H.
Lee
, J.
Xu
, B.
Kim
, S. W.
Hong
, U.
Jeong
, T.
Xu
, and T. P.
Russell
, Science
323
, 1030
(2009
).69.
J.-B.
Chang
, J. G.
Son
, A. F.
Hannon
, A.
Alexander-Katz
, C. A.
Ross
, and K. K.
Berggren
, ACS Nano
6
, 2071
(2012
).70.
71.
J.
Toelke
and M.
Krafczyk
, Int. J. Comput. Fluid Dyn.
22
, 443
(2008
).72.
A.
Kaufman
, Z.
Fan
, and K.
Petkov
, J. Stat. Mech.: Theory Exp.
(2009
) P06016
.73.
F.
Nannelli
and S.
Succi
, J. Stat. Phys.
68
, 401
(1992
).74.
I. V.
Karlin
, S.
Succi
, and S.
Orszag
, Phys. Rev. Lett.
82
, 5245
(1999
).75.
N.
Rossi
, S.
Ubertini
, G.
Bella
, and S.
Succi
, Int. J. Numer. Methods Fluids
49
, 619
(2005
).76.
Z.-G.
Feng
and E. E.
Michaelides
, J. Comput. Phys.
195
, 602
(2004
).© 2013 American Institute of Physics.
2013
American Institute of Physics
You do not currently have access to this content.