A new Lattice Boltzmann (LB) approach is introduced to solve for the block copolymer propagator in polymer field theory. This method bridges two desired properties from different numerical techniques, namely: (i) it is robust and stable as the pseudo-spectral method and (ii) it is flexible and allows for grid refinement and arbitrary boundary conditions. While the LB method is not as accurate as the pseudo-spectral method, full self-consistent field theoretic simulations of block copolymers on graphoepitaxial templates yield essentially indistinguishable results from pseudo-spectral calculations. Furthermore, we were able to achieve speedups of ∼100× compared to single CPU core implementations by utilizing graphics processing units. We expect this method to be very useful in multi-scale studies where small length scale details have to be resolved, such as in strongly segregating block copolymer blends or nanoparticle-polymer interfaces.

1.
T.
Thurn-Albrecht
,
J.
Schotter
,
G. A.
Kastle
,
N.
Emley
,
T.
Shibauchi
,
L.
Krusin-Elbaum
,
K.
Guarini
,
C. T.
Black
,
M. T.
Tuominen
, and
T. P.
Russell
,
Science
290
,
2126
(
2000
).
2.
S. O.
Kim
,
H. H.
Solak
,
M. P.
Stoykovich
,
N. J.
Ferrier
,
J. J.
de Pablo
, and
P. F.
Nealey
,
Nature (London)
424
,
411
(
2003
).
3.
J. Y.
Cheng
,
C. A.
Ross
,
H. I.
Smith
, and
E. L.
Thomas
,
Adv. Mater.
18
,
2505
(
2006
).
4.
J. Y.
Cheng
,
A. M.
Mayes
, and
C. A.
Ross
,
Nature Mater.
3
,
823
(
2004
).
5.
J. Y.
Cheng
,
C. A.
Ross
,
E. L.
Thomas
,
H. I.
Smith
, and
G. J.
Vancso
,
Appl. Phys. Lett.
81
,
3657
(
2002
).
6.
C.
Tang
,
E. M.
Lennon
,
G. H.
Fredrickson
,
E. J.
Kramer
, and
C. J.
Hawker
,
Science
322
,
429
(
2008
).
7.
V. P.
Chuang
,
W.
Jung
,
C. A.
Ross
,
J. Y.
Cheng
,
O.-H.
Park
, and
H.-C.
Kim
,
J. Appl. Phys.
103
,
074307
(
2008
).
8.
K.
Thorkelsson
,
A. J.
Mastroianni
,
P.
Ercius
, and
T.
Xu
,
Nano Lett.
12
,
498
(
2012
).
9.
J.
Kao
,
P.
Bai
,
V. P.
Chuang
,
Z.
Jiang
,
P.
Ercius
, and
T.
Xu
,
Nano Lett.
12
,
2610
(
2012
).
10.
N.
Koneripalli
,
F. S.
Bates
, and
G. H.
Fredrickson
,
Phys. Rev. Lett.
81
,
1861
(
1998
).
11.
Y.
Wu
,
G.
Cheng
,
K.
Katsov
,
S. W.
Sides
,
J.
Wang
,
J.
Tang
,
G. H.
Fredrickson
,
M.
Moskovits
, and
G. D.
Stucky
,
Nature Mater.
3
,
816
(
2004
).
12.
J. K. W.
Yang
,
Y. S.
Jung
,
J.-B.
Chang
,
R. A.
Mickiewicz
,
A.
Alexander-Katz
,
C. A.
Ross
, and
K. K.
Berggren
,
Nat. Nanotechnol.
5
,
256
(
2010
).
13.
R. A.
Mickiewicz
,
J. K. W.
Yang
,
A. F.
Hannon
,
Y. S.
Jung
,
A.
Alexander-Katz
,
K. K.
Berggren
, and
C. A.
Ross
,
Macromolecules
43
,
8290
(
2010
).
14.
A.
Tavakkoli K. G.
,
K. W.
Gotrik
,
A. F.
Hannon
,
A.
Alexander-Katz
,
C. A.
Ross
, and
K. K.
Berggren
,
Science
336
,
1294
(
2012
).
15.
A.
Tavakkoli K. G.
,
A. F.
Hannon
,
K. W.
Gotrik
,
A.
Alexander-Katz
,
C. A.
Ross
, and
K. K.
Berggren
,
Adv. Mater.
24
,
4249
(
2012
).
16.
K. Ch.
Daoulas
,
M.
Muller
,
J. J.
de Pablo
,
P. F.
Nealey
, and
G. D.
Smith
,
Soft Matter
2
,
573
(
2006
).
17.
F. A.
Detcheverry
,
D. Q.
Pike
,
P. F.
Nealey
,
M.
Meuller
, and
J. J.
de Pablo
,
Phys. Rev. Lett.
102
,
197801
(
2009
).
18.
D. Q.
Pike
,
F. A.
Detcheverry
,
M.
Meuller
, and
J. J.
de Pablo
,
J. Chem. Phys.
131
,
084903
(
2009
).
19.
F. A.
Detcheverry
,
D. Q.
Pike
,
U.
Nagpal
, and
J. J.
de Pablo
,
Soft Matter
5
,
4858
(
2009
).
20.
J. G. E. M.
Fraaije
,
J. Chem. Phys.
99
,
9202
(
1993
).
21.
J. G. E. M.
Fraaije
,
B. A. C.
van Vlimmeren
,
N. M.
Maurits
,
M.
Postma
,
O. A.
Evers
,
C.
Hoffmann
,
P.
Altevogt
, and
G.
Goldbeck-Wood
,
J. Chem. Phys.
106
,
4260
(
1997
).
22.
F.
Drolet
and
G. H.
Fredrickson
,
Phys. Rev. Lett.
83
,
4317
(
1999
).
23.
G. H.
Fredrickson
,
V.
Ganesan
, and
F.
Drolet
,
Macromolecules
35
,
16
(
2002
).
24.
K. O.
Rasmussen
and
G.
Kalosakas
,
J. Polym. Sci., Part B: Polym. Phys.
40
,
1777
(
2002
).
25.
S. W.
Sides
and
G. H.
Fredrickson
,
Polymer
44
,
5859
(
2003
).
26.
T. L.
Chantawansri
,
S. M.
Hur
,
C. J.
Garcia-Cervera
,
H. D.
Ceniceros
, and
G. H.
Fredrickson
,
J. Chem. Phys.
134
,
244905
(
2011
).
27.
H. D.
Ceniceros
and
G. H.
Fredrickson
,
SIAM Multiscale Model. Simul.
2
,
452
(
2004
).
28.
E. M.
Lennon
,
G. O.
Mohler
,
H. D.
Ceniceros
,
C. J.
Garcia-Cervera
, and
G. H.
Fredrickson
,
SIAM Multiscale Model. Simul.
6
,
1347
(
2008
).
29.
V.
Ganesan
and
G. H.
Fredrickson
,
Europhys. Lett.
55
,
814
(
2001
).
30.
K. W.
Morton
and
M. J.
Baines
,
Numerical Methods for Fluid Dynamics II
(
Clarendon
,
1986
).
31.
A.
Alexander-Katz
,
A. G.
Moreira
, and
G. H.
Fredrickson
,
J. Chem. Phys.
118
,
9030
(
2003
).
32.
S.-M.
Hur
,
C. J.
Garcia-Cervera
, and
G. H.
Fredrickson
,
Macromolecules
45
,
2905
(
2012
).
33.
F. J.
Higuera
,
S.
Succi
, and
R.
Benzi
,
Europhys. Lett.
9
,
345
(
1989
).
34.
F. J.
Higuera
and
J.
Jimenez
,
Europhys. Lett.
9
,
663
(
1989
).
35.
M.
Briscolini
,
P.
Santangelo
,
S.
Succi
, and
R.
Benzi
,
Phys. Rev. E
50
,
R1745
(
1994
).
36.
O.
Filippova
and
D.
Hanel
,
J. Comput. Phys.
147
,
219
(
1998
).
37.
C.-L.
Lin
and
Y. G.
Lai
,
Phys. Rev. E
62
,
2219
(
2000
).
38.
A.
Dupuis
and
B.
Chopard
,
Phys. Rev. E
67
,
066707
(
2003
).
39.
D.
Alemani
,
B.
Chopard
,
J.
Galceran
, and
J.
Buffle
,
Phys. Chem. Chem. Phys.
8
,
4119
(
2006
).
40.
M.
Stiebler
,
J.
Tolke
, and
M.
Krafczyk
,
Comput. Math. Appl.
55
,
1576
(
2008
).
41.
R. G. M.
van der Sman
and
M. H.
Ernst
,
J. Comput. Phys.
160
,
766
(
2000
).
42.
H. J.
Limbach
,
A.
Arnold
,
B. A.
Mann
, and
C.
Holm
,
Comput. Phys. Commun.
174
,
704
(
2006
).
43.
W.
Li
,
X. M.
Wei
, and
A.
Kaufman
,
Visual Comput.
19
,
444
(
2003
).
44.
M.
Bernaschi
,
S.
Melchionna
,
S.
Succi
,
M.
Fyta
,
E.
Kaxiras
, and
J. K.
Sircar
,
Comput. Phys. Commun.
180
,
1495
(
2009
).
45.
M.
Bernaschi
,
M.
Fatica
,
S.
Melchionna
,
S.
Succi
, and
E.
Kaxiras
,
Concurrency Comput.: Pract. Exper.
22
,
1
(
2010
).
46.
R.
Benzi
,
S.
Succi
, and
M.
Vergassola
,
Phys. Rep.
222
,
145
(
1992
).
47.
S.
Chen
and
G. D.
Doolen
,
Annu. Rev. Fluid Mech.
30
,
329
(
1998
).
48.
S.
Succi
,
E.
Foti
, and
F.
Higuera
,
Europhys. Lett.
10
,
433
(
1989
).
49.
Y.
Qian
,
D.
d'Humieres
, and
P.
Lallemand
,
Europhys. Lett.
17
,
479
(
1992
).
50.
S. Ponce
Dawson
,
S.
Chen
, and
G. D.
Doolen
,
J. Chem. Phys.
98
,
1514
(
1993
).
51.
S. G.
Ayodele
,
F.
Varnik
, and
D.
Raabe
,
Phys. Rev. E
83
,
016702
(
2011
).
52.
J.
Cerda
,
C.
Montoliu
, and
R. J.
Colom
,
Math. Comput. Modell.
57
,
1648
(
2013
).
53.
A.
Alexander-Katz
and
G. H.
Fredrickson
,
Macromolecules
40
,
4075
(
2007
).
54.
G. H.
Fredrickson
,
The Equilibrium Theory of Inhomogeneous Polymers
(
Oxford University Press
,
England
,
2006
).
55.
M. W.
Matsen
and
M.
Schick
,
Phys. Rev. Lett.
72
,
2660
(
1994
).
56.
D.
Duechs
,
V.
Ganesan
, and
G. H.
Fredrickson
,
Macromolecules
36
,
9237
(
2003
).
57.
S.
Succi
,
The Lattice-Boltzmann Equation: For Fluid Dynamics and Beyond
(
Clarendon
,
Oxford
,
2001
).
59.
S. P.
Thampi
,
S.
Ansumali
,
R.
Adhikari
, and
S.
Succi
,
J. Comput. Phys.
234
,
1
(
2013
);
60.
R.
Rubinstein
and
L.-S.
Lo
,
Phys. Rev. E
77
,
036709
(
2008
).
61.
F. S.
Bates
and
G. H.
Fredrickson
,
Phys. Today
52
,
32
(
1999
).
62.
I. W.
Hamley
,
The Physics of Block Copolymers
(
Oxford University Press
,
U.K.
,
1998
).
63.
S. W.
Sides
,
B. J.
Kim
,
E. J.
Kramer
, and
G. H.
Fredrickson
,
Phys. Rev. Lett.
96
,
250601
(
2006
).
64.
A. W.
Bosse
,
C. J.
Garcia-Cervera
, and
G. H.
Fredrickson
,
Macromolecules
40
,
9570
(
2007
).
65.
I.
Bita
,
J. K. W.
Yang
,
Y. S.
Jung
,
C. A.
Ross
,
E. L.
Thomas
, and
K. K.
Berggren
,
Science
321
,
939
(
2008
).
66.
J. Y.
Cheng
,
C. T.
Rettner
,
D. P.
Sanders
,
H. C.
Kim
, and
W. D.
Hinsberg
,
Adv. Mater.
20
,
3155
(
2008
).
67.
R.
Ruiz
,
H.
Kang
,
F. A.
Detcheverry
,
E.
Dobisz
,
D. S.
Kercher
,
T. R.
Albrecht
,
J. J.
De Pablo
, and
P. F.
Nealey
,
Science
321
,
936
(
2008
).
68.
S.
Park
,
D. H.
Lee
,
J.
Xu
,
B.
Kim
,
S. W.
Hong
,
U.
Jeong
,
T.
Xu
, and
T. P.
Russell
,
Science
323
,
1030
(
2009
).
69.
J.-B.
Chang
,
J. G.
Son
,
A. F.
Hannon
,
A.
Alexander-Katz
,
C. A.
Ross
, and
K. K.
Berggren
,
ACS Nano
6
,
2071
(
2012
).
70.
K. T.
Delaney
and
G. H.
Fredrickson
, e-print arXiv:1204.5434.
71.
J.
Toelke
and
M.
Krafczyk
,
Int. J. Comput. Fluid Dyn.
22
,
443
(
2008
).
72.
A.
Kaufman
,
Z.
Fan
, and
K.
Petkov
,
J. Stat. Mech.: Theory Exp.
(
2009
)
P06016
.
73.
F.
Nannelli
and
S.
Succi
,
J. Stat. Phys.
68
,
401
(
1992
).
74.
I. V.
Karlin
,
S.
Succi
, and
S.
Orszag
,
Phys. Rev. Lett.
82
,
5245
(
1999
).
75.
N.
Rossi
,
S.
Ubertini
,
G.
Bella
, and
S.
Succi
,
Int. J. Numer. Methods Fluids
49
,
619
(
2005
).
76.
Z.-G.
Feng
and
E. E.
Michaelides
,
J. Comput. Phys.
195
,
602
(
2004
).
You do not currently have access to this content.